2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 10:18 
Помогите пожалуйста решить интеграл вида:
$\int xe^{-x-\frac{x^2}{2}}dx$
я делаю замену через $t$ степень $e$, ($t=-x-\frac{x^2}{2}$) и не могу выразить оттуда $x$

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 10:28 
Аватара пользователя
Записывается так:

$$\int xe^{-x-\frac {x^2}{2}}dx$$

Если выражению добавить и вычесть $e^{-x-\frac {x^2}{2}}$, то интеграл разобьётся на два, один из которых берётся Вашей заменой, а второй сводится к $$\int e^{-t^2}dt$$

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 10:31 
Аватара пользователя
 !  Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.


Возвращено (АКМ)

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 13:30 
gris в сообщении #249708 писал(а):
Записывается так:

$$\int xe^{-x-\frac {x^2}{2}}dx$$

Если выражению добавить и вычесть $e^{-x-\frac {x^2}{2}}$, то интеграл разобьётся на два, один из которых берётся Вашей заменой, а второй сводится к $$\int e^{-t^2}dt$$


Если добавить и вычесть $e^{-x-\frac {x^2}{2}}$, чего дальше получится, можно объяснить поконкретнее как два интеграла получаются?

Не знаю, правильно я думаю или нет, но получается следующее выражение:
$\int (xe^{-x-\frac {x^2}{2}}+e^{-x-\frac {x^2}{2}}-e^{-x-\frac {x^2}{2}})dx$
Дальше ничего никуда не выносится, если сделать так:
$\int (e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x+1)-e^{-x-\frac {x^2}{2}})$
или так:
$\int (e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x-1)+e^{-x-\frac {x^2}{2}})$
То получаем практически то же самое выражение, если еще не сложнее.

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 13:47 
Аватара пользователя
$\int (e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x+1)-e^{-x-\frac {x^2}{2}})dx=$
$\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x+1)dx-\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}dx=$
$\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}(\frac {x^2}{2}+x)'dx-\int e^{-\frac12-x-\frac {x^2}{2}+\frac12}dx=...$

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 13:54 
gris в сообщении #249754 писал(а):
$\int (e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x+1)-e^{-x-\frac {x^2}{2}})dx=$
$\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}(x+1)dx-\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}dx=$
$\int e^{-x-\frac {x^2}{2}}(\frac {x^2}{2}+x)'dx-\int e^{-\frac12-x-\frac {x^2}{2}+\frac12}dx=...$

Спасибо, все понятно, только не понятно это:
$(\frac {x^2}{2}+x)'dx$
Тут чего, производная?

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 14:04 
Аватара пользователя
$(\frac {x^2}{2}+x)'dx=-d(-\frac {x^2}{2}-x)=-dt$

 
 
 
 Может, так понятнее?
Сообщение07.10.2009, 14:43 
Аватара пользователя
Может, так понятнее:
Если $y=-x-x^2/2$, то $\dfrac{dy}{dx}=-1-x=-(1+x),\quad dy=-(1+x)dx.$
Если $t=-x-x^2/2$, то $\dfrac{dt}{dx}=-1-x=-(1+x),\quad dt=-(1+x)dx,\quad dx=-\dfrac{dt}{x+1}.$

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 14:50 
С этим то понятно, теперь не понятно дальше:
$\int e^{-\frac12-x-\frac {x^2}{2}+\frac12}dx=$
Зачем $\frac12$ сначало вычитать, а потом прибавлять?

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 14:54 
Последнее легко приводится к интегралу Пуассона.

-- Ср окт 07, 2009 15:57:53 --

2gris: там надо на $$$\int e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$$ исправить.

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 15:16 
Аватара пользователя
$\int e^{-\frac12-x-\frac {x^2}{2}+\frac12}dx=$
$\int e^{-\frac12 (x+1)^2+\frac12}dx=$
$e^{1/2}\int e^{-\frac12 (x+1)^2}d(x+1)=$
$e^{1/2}\int e^{-\frac {t^2}2}dt$
что есть Интеграл Пуассона, как и сказал Dementor

Однако же Вы сами старайтесь тоже участвовать, а то попадётся на контрольной похожий интеграл.
Главное - умение видеть известные интегралы, прячущиеся в задании, и приводить к ним заданные. Умение видеть замены и подстановки. Чувствовать, когда можно по частям интегрировать.
Приходит с опытом. Так что решайте побольше.

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение07.10.2009, 15:21 
gris
Спасибо большое!

 
 
 
 Re: Помогите решить интеграл
Сообщение28.10.2009, 08:55 
И все равно неправильно, интеграл Пуассона тут брать нельзя, так как он выглядит так:
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$
Он является определенным, и неопределенные интегралы искать при помощи него нельзя.
Но это уже неважно, решение этого примера мне уже не нужно.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group