2.

(хотя бы при

)

(

).
Для простых сумм типа этой можно применять дискретный аналог метода Лапласа. А именно:
Более-менее понятно, что основной вклад в сумму дают слагаемые вблизи

, конкретнее, слагаемые с

(например). При таких

с помощью дедушки Стирлинга получаем асимптотику

(очень грубая оценка).
Следовательно, искомая сумма равна (пользуемся монотонностью биномиальных коэффициентов)


Последнюю сумму можно распространить на

(хвост можно оценить, например, так: при

оцениваем тривиально, а оставшийся хвост уже мажорируется убывающей геометрической прогрессией).
Дальше можно действовать по-разному.
Первый способ (самый простой) --- тупо заменяем сумму на интеграл, который равен

; погрешность оцениваем из соображений монотонности как

(если применить формулу суммирования Эйлера--Маклорена, то остаток можно оценить гораздо лучше).
Второй способ (более тонкий и дающий исчерпывающую информацию по поведению суммы ряда; в данной задаче это слишком, но для общего развития полезно иметь в виду) --- формула суммирования Пуассона (или посмотреть в каком-нибудь справочнике готовую формулу для соответствующей тета-функции). Так или иначе получаем

Действуя чуть более аккуратно, можно получить асимптотику (

)

ну, и т.д. Вот как-то так.