Задача по элементарной алгебре: многочлены

[maxmatem]

надо найти условия при которых многочлен третьей степени был равен кубу многочлена первой степени, т.е $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(Ax+B)^{3}$
я начал решать и получил:
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=A^{3}x^{3}+3A^{2}Bx^{2}+3AB^{2}x+B^{3}$
ну приравнял коэффиценты и получил:
$a=A^{3}$
$b=3A^{2}B$
$c=AB^{2}$
$d=B^{3}$
а как дальше? какое условие? я пытался выражать A,B ч\з a,b,c,d но ничего путного не вышло!

[Mathusic]

maxmatem в сообщении #246772 писал(а):

надо найти условия при которых многочлен третьей степени был равен кубу многочлена первой степени, т.е $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(Ax+B)^{3}$
я начал решать и получил:
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=A^{3}x^{3}+3A^{2}Bx^{2}+3AB^{2}x+B^{3}$
ну приравнял коэффиценты и получил:
$a=A^{3}$
$b=3A^{2}B$
$c=AB^{2}$
$d=B^{3}$
а как дальше? какое условие? я пытался выражать A,B ч\з a,b,c,d но ничего путного не вышло!

Если над полем действительных чисел рассматриваете, то просто надо наложить условия на дискриминант.

[maxmatem]

да! над полем действительных чисел! извините за глупый вопрос а как выглядит дискриминант для кубического ур-ия и можно ли улавить это условие из той с-мы что я написал?если вам не лень напишите общую ф-лу дискриминанта для ур-я n-ой степени!

[Maslov]

Я думаю, дальше просто надо выразить b и c через a и d.
В результате, получим соотношения, определяющие как коэффициенты b и c многочлена третьей степени должны выражаться через его коэффициенты a и d, чтобы этот многочлен был кубом какого-нибудь полинома первой степени (a и d могут быть любыми).
Только Вы тройку в выражении для c потеряли

[Sasha2]

Там ошибочка маленькая
$c=3AB^2$
Затем разделите a на b, а затем d на c.
Оттуда уже нетрудно усмотреть очевидную пропорцию, которая и является Вашим условием.

[ewert]

Лучше просто разделить исходное уравнение на $a$. Очевидно, коэффициент ${b\over a}$ может быть любым (и, кстати, над любым полем). Но тогда, очевидно, должно быть ${c\over3a}=\left({b\over3a}\right)^2$ и ${d\over a}=\left({b\over3a}\right)^3$, и всё.

[nn910]

ewert лаконично опередил, но я добавляяю пару трудоемких сведений из прежних топиков, пригодятся при более сложных задачах:
Дискриминант$(x_1-x_2)^2 (x_1-x_3)^2 (x_2-x_3)^2 =\dfrac{b^2c^2}{a^4}-4 \dfrac{c^3}{a^3} +4 \dfrac{b^3 d}{a^4}+18 \dfrac{bcd}{a^3}$ ловит совпадение двух корней из трех
Совпадение всех трех ловит $(x_1-x_2)^2 + (x_1-x_3)^2+ (x_2-x_3)^2 =2(x_1+x_2+x_3)^2 -6(x_1 x_2+x_1 x_3 +x_2 x_3)=\dfrac{2b^2}{a^2} -\dfrac{6c}{a} =2\dfrac{b^2-3ac}{a^2} =0$но при этом существует единственное d,чтобы корни были все 3 действительные (выразите сами $\dfrac{d}{a}$ через $\dfrac{b}{a}$

[maxmatem]

надо найти условия при которых многочлен третьей степени был равен кубу многочлена первой степени, т.е $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(Ax+B)^{3}$
я начал решать и получил:
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=A^{3}x^{3}+3A^{2}Bx^{2}+3AB^{2}x+B^{3}$
ну приравнял коэффиценты и получил:
$a=A^{3}$
$b=3A^{2}B$
$c=3AB^{2}$
$d=B^{3}$
а как дальше? какое условие? я пытался выражать A,B ч\з a,b,c,d но ничего путного не вышло!
я поделил а на b и d на c b и получил
$\frac{a}{b}=\frac{A}{3B}$
$\frac{d}{c}=\frac{B}{3A}$
но никакой связи я не получил!подскажите может я е просто не вижу!

[ewert]

Вам же уже ответили, и неоднократно.

[maxmatem]

я прошу объяснить!ту пропорцию которую я получил где в ней связь с поставленной задачей, Ewert!а вы можите в кратце объяснить, что должно выполняться для поставленной задачи , а то я приравнял коэффиценты а что должно получиться в итоге к чему надо стремиться когда я выражаю эти коф-ты?

[ewert]

ewert в сообщении #246792 писал(а):

Лучше просто разделить исходное уравнение на $a$. Очевидно, коэффициент ${b\over a}$ может быть любым (и, кстати, над любым полем). Но тогда, очевидно, должно быть ${c\over3a}=\left({b\over3a}\right)^2$ и ${d\over a}=\left({b\over3a}\right)^3$, и всё.

Дальше тасуйте эти два равенства как угодно.

[maxmatem]

Ewert! а из тех пропорций что я написал ничего нельзя сделать?
к чему я должен прийти? я наверное несовсем точно представляю каким это должно быть условие?вот для мн-нов второй степени я понял там дискриминант должен быть равен нулю!а тут чего-то не ясно

[Maslov]

А можно и так сказать: для того, чтобы полином 3-й степени являлся кубом полинома 1-й степени, надо, чтобы его коэффициеты подчинялись следующим условиям:
$b^3 = 3a^2d$
$c^3 = 3ad^2$
(коэффициенты a и d могут быть любыми)

[ewert]

Потому что Вы относитесь к делу несколько бессознательно. Конечно, и из тех соотношений что-то можно выудить. Но зачем, если Ваша задача -- выделить полный куб?... Вот и выделяйте -- в лоб. Раз уж это проходит.

[AKM]

maxmatem,
не дублируйте темы --- никаких разумных оснований заводить вторую тему на ту же тему не было.
Темы объединены.

Были некоторые основания сначала порешать аналогичную задачу для квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c=(Ax+B)^2.$