Гипотеза: параметризация диофантовых уравнений

[age]

venco
2. Пожалуй, Вы правы. Для какой-нибудь параметризации:
$7(a^2-4a+3)^6+11(a^3+5a^2-7)^4=18(a^4-7a^3+3a^2+11)^3+7556$
действительно может быть бесчисленное множество решений.

[venco]

age в сообщении #352536 писал(а):

venco
1. Вопрос не понял. Что значит "бесконечное полиномиальное множество?"

Пардон, я хотел сказать "бесконечное множество полиномиальных решений".

age в сообщении #352536 писал(а):

2. Вы правы. Свободный член действительно может изменяться. Просто условия выполнения параметризации в вариантах без- и с свободным членом требуют обязательно равенство левой и правой частей.
Если же свободный член присутствует

Это не важно, т.к. свободный член может быть равен нулю при подстановке параметрического решения. На самом деле, все члены должны быть равны нулю, иначе это решение не будет параметрическим.

age в сообщении #352536 писал(а):

3. Потому что иначе параметризовать нельзя.

Ок, с этим согласен.

age в сообщении #352536 писал(а):

4. Потому что бесконечного количества параметрических решений быть не может ни у одного диофантова уравнения. Если конечно одно, то конечны и все остальные.

Эмм... почему?
И что мешает даже одному параметрическому решению быть бесконечным? Собственно, любое параметрическое решение даёт бесконечное множество решений.
А также, что мешает существованию бесконечного множества непараметрических решений?

[age]

venco
Действительно, условие достаточности невыполнимо, т.е. возможны диофантовы уравнения со свободным членом, имеющие параметризацию (бесчисленное множество решений).
Но вот условие необходимости: всякое диофантово уравнение, не имеющее свободного члена либо имеет параметризацию, либо неразрешимо, - похоже выполнимо, т.к. отсутствие свободного члена запрещает ему иметь ограниченное количество решений.
Доказывается в точности по схеме, предложенной выше.