Деление окружности на две части, мощности

[Sasha2]

Вот если мы проведем диаметр в окружности, то этот диаметр (так во всяком случае говорится во всех учебниках) разделит всю окружность на две полуокружности.
НО ВЕДЬ НА САМОМ ДЕЛЕ ТО НЕ ВСЮ, А ТОЛЬКО ВСЮ ЭТУ ОКРУЖНОСТЬ ЗА ВЫЧЕТОМ ТЕХ ДВУХ ТОЧЕК ЭТОЙ ОКРУЖНОСТИ, КОТОРЫЕ ЛЕЖАТ НА ПРЯМОЙ, ЯВЛЯЮЩЕЙСЯ НЕОГРАНИЧЕННЫМ ПРОДОЛЖЕНИЕМ ДАННОГО ДИАМЕТРА В ОБЕ СТОРОНЫ.

Вопрос такой, к какой полуокружности (ведь полуокружность подразумевает РОВНО ПОЛОВИНУ) относить ЭТИ ДВЕ ТОЧКИ. А если такое деление (ПУТЕМ ПРОВЕДЕНИЯ ПРЯМОЙ НЕВОЗМОЖНО), то как разделить окружность на две равные части?

[gris]

Существует два (с точностью до поворота) способа деления окружности на две равные непересекающиеся непрерывные части, в объединении составляющие целую окружность, то есть на две полуокружности.
В полуокружность включается конечная точка по часовой стрелке и исключается конечная против часовой. Или наоборот. Полуокружности представляют собой дуги $[0;\pi)$ и $[\pi;2\pi)$ либо $(0;\pi]$ и $(\pi;2\pi]$
Понятно, что это один способ с точностью до поворота и отражения.

[Sasha2]

Грубо говоря, тогда не совсем понятно, что такое полуокружность.
Это любая из частей, получаемая путем деления одним из тех двух способов, которые Вы указали, или же классика (провдим диаметр и берем рдну из половинк, лежащих целиком в одной из двух полуплоскостей, опеределяемых данным диаметром)?

[Dementor]

Но ведь толщина линии равна нулю.

[gris]

[*]Вполне достаточно определения, что полуокружность это дуга окружности, стягиваемая диаметром.
При этом концы включаются в каждую из двух полуокружностей. Если это вопрос из школьной геометрии, то там все фигуры содержат свою границу. Пересечение половинок в двух точках можно не учитывать.
Если Вам хочется поиграть с элементами топологии, то можно придумать что угодно.
Обсуждать это на уроках с обычными школьниками вряд ли стоит, а вот в кружке наверное интересно поразбирать различные определения и их равносильность.

[Sergey-Cop]

Dementor в сообщении #241676 писал(а):

Но ведь толщина линии равна нулю.

Ну уж не-ет.
Линия вообще не имеет толщины. Так что нулю она никак не равна

[Someone]

Sasha2 в сообщении #241652 писал(а):

Вот если мы проведем диаметр в окружности, то этот диаметр (так во всяком случае говорится во всех учебниках) разделит всю окружность на две полуокружности.
НО ВЕДЬ НА САМОМ ДЕЛЕ ТО НЕ ВСЮ, А ТОЛЬКО ВСЮ ЭТУ ОКРУЖНОСТЬ ЗА ВЫЧЕТОМ ТЕХ ДВУХ ТОЧЕК ЭТОЙ ОКРУЖНОСТИ, КОТОРЫЕ ЛЕЖАТ НА ПРЯМОЙ, ЯВЛЯЮЩЕЙСЯ НЕОГРАНИЧЕННЫМ ПРОДОЛЖЕНИЕМ ДАННОГО ДИАМЕТРА В ОБЕ СТОРОНЫ.

Вопрос такой, к какой полуокружности (ведь полуокружность подразумевает РОВНО ПОЛОВИНУ) относить ЭТИ ДВЕ ТОЧКИ. А если такое деление (ПУТЕМ ПРОВЕДЕНИЯ ПРЯМОЙ НЕВОЗМОЖНО), то как разделить окружность на две равные части?

Замечательная демонстрация вреда теоретико-множественного подхода в элементарной геометрии: вместо собственно изучения геометрии человек начинает выдумывать псевдопроблемы.

Считайте, что обе точки входят в обе полуокружности, и забудьте об этом вопросе и о других, аналогичных ему. В геометрии, когда говорят о том, что фигура разделена чем-то на две части, имеется в виду вовсе не разбиение на дизъюнктные подмножества в смысле теории множеств. Например, когда прямоугольник делится диагональю на два треугольника, сама диагональ включается в оба треугольника.

Вообще, в элементарной геометрии прямые и плоскости не состоят из точек. Точки, прямые и плоскости - это самостоятельные объекты, и есть только отношение инцидентности между ними, причём, симметричное: если точка инцидентна прямой, то и прямая инцидентна точке.

[ewert]

Someone в сообщении #246457 писал(а):

Считайте, что обе точки входят в обе полуокружности, и забудьте об этом вопросе и о других, аналогичных ему.

Это не всегда возможно. Когда аккуратно пытаются изложить меру Лебега -- постоянно застревают на совершенно ненужных (но формально обязательных) вещах типа того, включать ли в прямоугольник те или иные его грани/рёбра/вершины и т.д. А это -- близкий вопрос.

[Someone]

Причём тут мера Лебега? Речь, как я понял, идёт об элементарной геометрии.

[Maslov]

Someone в сообщении #246457 писал(а):

Вообще, в элементарной геометрии прямые и плоскости не состоят из точек. Точки, прямые и плоскости - это самостоятельные объекты, и есть только отношение инцидентности между ними, причём, симметричное: если точка инцидентна прямой, то и прямая инцидентна точке.

А у кривых с точками какие отношения?
Судя по определениям типа "окружность - это геометрическое место точек, равноудаленных от данной", кривая все-таки состоит из точек. Или нет?

[Someone]

Ну, видите ли, для человека, "испорченного" теорией множеств, всё это настолько легко и очевидно интерпретируется в терминах теории множеств, что объяснить ему, что геометрические объекты совсем не обязательно представлять себе как множества, довольно трудно. Я окончил школу в 1967 году и ни о какой теории множеств даже не подозревал. Познакомился я с ней только на первом курсе. С тех пор я вот уже 40 лет занимаюсь общей топологией, так что тоже основательно "испортился". Тем не менее, у меня есть совершенно явное ощущение, что теория множеств создаёт псевдопроблемы практически во всех областях математики, куда проникает.

[Maslov]

Someone в сообщении #246821 писал(а):

Ну, видите ли, для человека, "испорченного" теорией множеств, всё это настолько легко и очевидно интерпретируется в терминах теории множеств, что объяснить ему, что геометрические объекты совсем не обязательно представлять себе как множества, довольно трудно.

Согласен. В рамках элементарной (наивной, наглядной) геометрии пытаться разложить по полочкам понятие "геометрическое место точек", наверное, просто бессмысленно. В конце концов, что такое окружность, понимают даже дети, а понимание - это единственное, что надо на этом уровне.

Цитата:

Тем не менее, у меня есть совершенно явное ощущение, что теория множеств создаёт псевдопроблемы практически во всех областях математики, куда проникает.

Может быть, пока эти проблемы - "псевдо", так и ничего страшного?
По крайней мере, в контексте данной темы точно никаких проблем нет. Автор задал вопрос, Вы на этот вопрос ответили, все довольны

[ewert]

Maslov в сообщении #246873 писал(а):

В конце концов, что такое окружность, понимают даже дети, а понимание - это единственное, что надо на этом уровне.

Окружность -- это именно "геометрическое место точек", не более и не менее. Т.е. некое множество. В аксиоматике понятие "окружность" отсутствует.

А дети -- да, прекрасно понимают это безо всяких множеств. Как "нечто кругленькое". И это плохо. Пусть и не так часто, но с удивительным постоянством студенты спотыкаются на предложении нарисовать линию $|z|=1$. Вроде и знают, что модуль -- это расстояние, а связать это с окружностью -- ну никак. Ну и в некоторых других аналогичных случаях -- аналогично.

[Maslov]

ewert в сообщении #246878 писал(а):

Окружность -- это именно "геометрическое место точек", не более и не менее. Т.е. некое множество. В аксиоматике понятие "окружность" отсутствует.

Это не в любой аксиоматике множество. В аксиоматике Гильберта, например, окружность определяется следующим образом: "Назовем совокупность точек, которые получаются из одной, отличной от М точки при помощи всевозможных вращений вокруг точки М, "истинной" окружностью." (Гильберт Д. — Основания геометрии., стр.253)
Т.е., окружность - это не множество, это какая-то совокупность. Правда, потом вводится аксиома, "Всякая истинная окружность состоит из бесчисленного множества точек" Причем, заметьте, не "бесконечного", а "бесчисленного". Правда, это вобще может быть просто проблемой перевода.

Цитата:

Пусть и не так часто, но с удивительным постоянством студенты спотыкаются на предложении нарисовать линию $|z|=1$.

Да я же не про студентов, а про детей говорю . И грузить детей в 6-м классе общеобразовательной школы тонким различием понятий "множество" и "геометрическое место точек", не только бесполезно, но и вредно (IMHO).
А в данном случае, мне кажется, проблема, скорее, в отсутствии восприятия математики как цельной дисциплины - вот и не приходят в голову геометрические соображения, когда занимаются алгеброй и анализом. Но я охотно допускаю, что тут Вам виднее - я не преподаватель.

[ewert]

Maslov в сообщении #246891 писал(а):

Да я же не про студентов, а про детей говорю . И грузить детей в 6-м классе общеобразовательной школы тонким различием понятий "множество" и "геометрическое место точек", не только бесполезно, но и вредно (IMHO).

Так студенты -- это ж бывшие дети (хотел машинально сказать "бывшие люди", но вовремя спохватился).

А тонкое различие между понятиями "множество" и "геометрическое место точек" -- лично мне недоступно.