2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление обратной матрицы специального вида
Сообщение08.09.2009, 12:43 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Дано уравнение $\omega X = \zeta$, где столбец $i$ матрицы $X$ равен первому столбцу, возведённому поэлементно в степень $i$

$$\left[\begin{matrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n - 1} \\
& & \cdots & & \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n - 1} \\
\end{matrix}\right]$$

$x_1, \dots, x_n$ могут быть какими угодно

Про обращении матрицы $X$ матлаб ругается, мол такие матрицы я обращать не умею. По идее, если домножить левую и правую части на "хорошую" диагональную матрицу $D$ можно значительно упростить задачу.

Собственно вопрос, есть ли способ для заданной матрицы $X$ нахождения такой $D$, чтобы $(X D)^{-1}$ легко вычислялось на компьютере.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы
Сообщение08.09.2009, 15:31 
Заблокирован


19/06/09

386
Можно попробовать так:
Решим для всех $i$ уравнение $X\omega=\delta_i$, где $\delta_i$ - столбец с единицей на $i$ месте и нулями на остальных. Оно эквивалентно задаче нахождения коэффицентов интерполяционного многочлена Лагранжа, которые получаются из формул Виета. Решив эту задачу, мы получим столбцы $X^{-1}\delta_i $, из которых можно составить матрицу $X^{-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы
Сообщение11.09.2009, 00:45 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5151
bubu gaga в сообщении #241453 писал(а):

$$\left[\begin{matrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n - 1} \\ & & \cdots & & \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n - 1} \\ \end{matrix}\right]$$

Это т.н. матрица Вандермонда - см. http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix
Она обратима только если все $x_i$ попарно различны. Явная формула для обратной матрицы дается в статье: http://www.jstor.org/pss/2308881

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы
Сообщение11.09.2009, 00:50 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы
Сообщение11.09.2009, 07:41 
Заслуженный участник


11/05/08
31000
maxal в сообщении #242221 писал(а):
Явная формула для обратной матрицы дается в статье: http://www.jstor.org/pss/2308881

Занятная статья. Явной формулы там нет (там только первая страничка), но возникает интересный вопрос: а что, к 1958-му году в Штатах интерполяционный многочлен Лагранжа был ещё не известен?

Кроме того, они ещё зачем-то желают, чтобы узлы были different from zero. Сплошные загадки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы
Сообщение11.09.2009, 09:27 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5151
ewert в сообщении #242246 писал(а):
Занятная статья. Явной формулы там нет (там только первая страничка), но возникает интересный вопрос: а что, к 1958-му году в Штатах интерполяционный многочлен Лагранжа был ещё не известен?

Ну так я и не утверждал, что там формула приведена на первой странице. И с чего вы взяли, что интерполяционный многочлен Лагранжа был им не известен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы
Сообщение11.09.2009, 09:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31000
А если известен, то зачем статья? Просто раскрыть в этом многочлене скобки -- и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы
Сообщение11.09.2009, 10:01 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5151
Об этом и статья - аккуратно раскрыть скобки, упростить получающиеся выражения, отдельно рассмотреть случай, когда $x_i$ образуют арифметическую прогрессию (и формулы получаются проще) - вполне на 6 страниц тянет. А потом она же опубликована в относительно популярном журнале American Mathematical Monthly, где аудитории принято все как следует разжевывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы специального вида
Сообщение22.01.2015, 15:04 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
В связи с тем, что американский журнал не позволяет свободно скачивать свои материалы, предлагаю отечественный вариант того же самого. К сожалению не имею возможности сравнить, какой из этих двух материалов лучше в объяснении или полнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы специального вида
Сообщение22.01.2015, 17:23 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5151
B@R5uk в сообщении #966755 писал(а):
американский журнал не позволяет свободно скачивать свои материалы

Скачивать не дает, но читать в онлайн - пожалуйста (после бесплатной регистрации) - для этого надо кликнуть на кнопку "Read Online".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы специального вида
Сообщение22.01.2015, 18:20 
Заморожен


20/12/10
5623
B@R5uk в сообщении #966755 писал(а):
В связи с тем, что американский журнал не позволяет свободно скачивать свои материалы
Где-то на рутрекере давно лежит за последние лет 100.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление обратной матрицы специального вида
Сообщение22.01.2015, 21:05 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
nnosipov, спасибо за совет, нашёл, качаю. Интерес к вопросу остался, потому что в отечественном варианте хоть и явная, но рекуррентная формула (частично).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group