2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение18.08.2010, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ой, смотрите: A158649

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение19.08.2010, 04:22 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Надо бы эту последовательность удлиннить. Вот навскидку следующий элемент:
A158649(12) = 6546

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение21.08.2010, 00:25 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
A158649(13) = 20622

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение23.08.2010, 07:55 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Математика - вещь несправедливая. Есть много-много решений рассмотренной выше задачи и ни одного варианта для зависимости $x^3+y^3=z^3$. В целых числах, конечно. Ну разве такое дело годится?

 !  Предупреждение за оффтопик и попытку захвата темы!

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение25.08.2010, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Нашлось ли хотя бы одно нетривиальное решение, где все $a_k$ различны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение25.08.2010, 23:43 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Droog_Andrey в сообщении #347246 писал(а):
Нашлось ли хотя бы одно нетривиальное решение, где все $a_k$ различны?

Для $n\leq 13$ таких нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение26.08.2010, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Становится всё интереснее...

Кстати, решений в положительных рациональных числах, судя по всему, бесконечно много для каждого $n$.

Рассмотрим подробнее случай $n=2$.

В этом случае знаменатели одинаковы, и для каждого значения знаменателя количество решений конечно. Скажем, для знаменателя $7$ мы имеем четыре решения (приведены числители):
$(2;10) (4;12) (10;15) (12;15)$

Вообще, для знаменателей, имеющих лишь один простой делитель, мне удалось найти только по четыре решения. Знаменатель $91$ дал восемь результатов:
$(6;102) (11;110) (72;171) (80;176) (102;187) (110;190) (171;190) (176;187)$

Следующий знаменатель с восемью результатами - $133$, затем идут $217$, $247$, $259$ и так далее. Более восьми решений (а именно шестнадцать) даёт знаменатель $1729$:
$(50;1825) (138;1978) (424;2385) (544;2528) (930;2914) (1073;3034) (1480;3320) (1633;3408)$
$(1825;3504) (1978;3569) (2385;3690) (2528;3713) (2914;3713) (3034;3690) (3320;3569) (3408;3504)$

Похоже, что решения есть для таких и только таких знаменателей, все делители которых имеют вид $6m+1$, причём количество решений равно $2^{r+1}$, где $r$ - количество простых делителей.

Доказательство этого предположения могло бы начаться с того факта, что решение $(a;b)$ существует тогда и только тогда, когда $a+b$ делит $3ab$ (при этом знаменатель равен $a+b-\frac{3ab}{a+b}$).

Вот список всех найденных мной решений со знаменателями, не превышающими $12000$:
http://www.primefan.ru/stuff/math/z.txt

Интересно было бы поискать похожие закономерности для случаев $n>2$. Вот список найденных мной решений для $n=3$ со знаменателями, не превышающими $50$:
http://www.primefan.ru/stuff/math/z3.txt

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение27.08.2010, 17:45 


23/01/07
3415
Новосибирск
Сумма двух рациональных чисел лежит в диапазоне от $1$ до $4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение27.08.2010, 18:51 


23/01/07
3415
Новосибирск
$\left(\dfrac {a}{c}+\dfrac{b}{c}\right)^2=\left(\dfrac{a}{c}\right)^3+\left(\dfrac{b}{c}\right)^3$

$\dfrac{\left(a+b\right)^2}{c^2}=\dfrac{a^3+b^3}{c^3}=q^2$

$q^6=\dfrac{\left(a+b\right)^6}{c^6}$; $q^4=\dfrac{\left(a^3+b^3\right)^2}{c^6}$

$\dfrac{q^4}{q^6}=\dfrac{1}{q^2}=\dfrac{\left(a^3+b^3\right)^2}{\left(a+b\right)^6}$

$\dfrac{1}{q^2}=\dfrac{\left(a^2-ab+b^2\right)^2}{\left(a+b\right)^4}$

$\dfrac{1}{q}=\dfrac{\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2}=1-\dfrac{3ab}{\left(a+b\right)^2}$

$\dfrac{1}{q}=1-\dfrac{3}{\left(\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}\right)^2}$

$\dfrac{1}{q}=1-\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}+\dfrac{\sqrt b}{\sqrt a}+2}$

С учетом того, что
$\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}+\dfrac{\sqrt b}{\sqrt a}\geq 2$,
а сверху это выражение ничем не ограничено, то

$ 1\leq \left(q=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\right) \leq 4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение27.08.2010, 19:03 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Батороев в сообщении #347717 писал(а):
Сумма двух рациональных чисел лежит в диапазоне от $1$ до $4$.

Оценка $\sum_{i=1}^n a_k \leq n^2$ была получена без учета целочисленности $a_k$ и справедлива также для рациональных значений. В частности, для $n=2$ она дает верхнюю границу 4 для суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение27.08.2010, 19:18 


23/01/07
3415
Новосибирск
maxal
Извиняюсь!
Не посмотрел ранние посты в теме. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение02.09.2010, 05:47 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Droog_Andrey в сообщении #347246 писал(а):
Нашлось ли хотя бы одно нетривиальное решение, где все $a_k$ различны?
А разве не очевидно, что таковых нет?
Любое нетривиальное решение с попарно различными (натуральными) числами должно получаться из тривиального $(1+2+\cdots+n)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3$ выбрасыванием нескольких слагаемых, но не последнего. Но при этом левая часть всегда будет меньше правой.

Или я чего-то не понял спросонок?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение02.09.2010, 06:02 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
VAL в сообщении #348987 писал(а):
Любое нетривиальное решение с попарно различными (натуральными) числами должно получаться из тривиального $(1+2+\cdots+n)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3$ выбрасыванием нескольких слагаемых, но не последнего. Но при этом левая часть всегда будет меньше правой.

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение02.09.2010, 06:32 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
maxal в сообщении #348988 писал(а):
VAL в сообщении #348987 писал(а):
Любое нетривиальное решение с попарно различными (натуральными) числами должно получаться из тривиального $(1+2+\cdots+n)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3$ выбрасыванием нескольких слагаемых, но не последнего. Но при этом левая часть всегда будет меньше правой.

Почему?

Потому что куб растет быстрее квадрата.
Это общее соображение. Аккуратнее пока не доказывал. А если мне приведут пример, в котором после удаления нескольких слагаемых левая часть станет больше правой, то и не буду :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение02.09.2010, 06:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
VAL в сообщении #348990 писал(а):
Это общее соображение. Аккуратнее пока не доказывал.

С удовольствием посмотрю на доказательство. (что-то мне подсказывает, что тут отнюдь не всё так просто)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group