2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение25.08.2009, 20:32 
Аватара пользователя


04/07/09
47
Привет,прошу вашей помощи (объясните, целый час мучался), чтобы найти координату центра масс усеченного однородного тетраэдра, если даны площади при большом и меньшем основании - $a$ и $b$ соответственно, а так же расстояние между этими основаниями - высота $h$.
Мои наметки: найти координату центра тяжести через разность неусеченного тетраэдра и того, который отбросили при сечении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение25.08.2009, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Так а чем наметки плохие? Только "разность" надо понимать в подходящем смысле, во взвешенном.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение26.08.2009, 03:48 
Аватара пользователя


04/07/09
47
Хорхе в сообщении #237946 писал(а):
Так а чем наметки плохие? Только "разность" надо понимать в подходящем смысле, во взвешенном.

$x_c=\frac {x_{c_1}\cdot V_1-x_{c_2}\cdot V_2}{V_1-V_2}$, где $x_{c_1}$, $x_{c_2}$ - координаты центра масс неусеченного однородного тетраэдра и отброшенного при его сечении, когда образуется усеченный тетраэдр с основаниями, площади которых известны (большая - $a$, а маленькая - $b$), $V_1$ и $V_2$ - объемы неурезанного тетраэдра и отброшенного при его сечении.
Трудновато найти координаты центров масс этих тетраэдров и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение26.08.2009, 09:07 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ural в сообщении #238015 писал(а):
Трудновато найти координаты центров масс этих тетраэдров и т.д.
Центр масс любого тетраэдра есть точка пересечения его медиан (отрезков, соединящих вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней). Медианы делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от вершины.
Это соображение сразу же дает ответ на интересующий Вас вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение26.08.2009, 09:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
А я хотел наводку написать...
Вроде того, что центр масс тетраэдра там же, где центр масс системы масс в его вершинах. Одна гиря вверху, три внизу... В итоге 3:1, как нас в школе учили, точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение26.08.2009, 14:51 
Аватара пользователя


04/07/09
47
Здравствуйте!
Хорхе, можем мы с Вами вывести объём тетраэдра (а может сначала обыкновенного тетраэдра, а потом однородного, ну ладно, с чего удобнее, чтобы понять откуда и что берется) в следующем смысле. Вы даёте мне подсказки, а я попытаюсь напрячь свой мозг :) ?
Затем можно перейти к выводу того, что центр тяжести тетраэдра получается пересечением медиан этого тела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение26.08.2009, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Да ладно, что уж там выводить.

Во-первых, по принципу Кавальери, объем тетраэдра = объему любого конического тела с той же площадью основания и той же высотой. В частности, он равен объему четырехугольной пирамиды. Во-вторых, этот объем, снова в силу принципа Кавальери, пропорционален площади основания. В-третьих, объемы подобных тел соотносятся как куб коэффициента подобия (откуда объем конического тела пропорционален высоте). Вот теперь составьте из одинаковых четырехугольных пирамид единичный куб и отсюда получите формулу.

Есть способ проще - погуглить и найти формулу :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение26.08.2009, 15:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ural в сообщении #238145 писал(а):
Хорхе, можем мы с Вами вывести объём тетраэдра (а может сначала обыкновенного тетраэдра, а потом однородного, ну ладно, с чего удобнее, чтобы понять откуда и что берется) в следующем смысле. Вы даёте мне подсказки,

Я хоть и не Хорхе, но подсказку дам: какое отношение объём тетраэдра имеет к его "однородности"?... и даже к "обыкновенности"?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение26.08.2009, 17:12 
Аватара пользователя


04/07/09
47
Хорхе в сообщении #238150 писал(а):
Да ладно, что уж там выводить.

Во-первых, по принципу Кавальери, объем тетраэдра = объему любого конического тела с той же площадью основания и той же высотой. В частности, он равен объему четырехугольной пирамиды. Во-вторых, этот объем, снова в силу принципа Кавальери, пропорционален площади основания. В-третьих, объемы подобных тел соотносятся как куб коэффициента подобия (откуда объем конического тела пропорционален высоте). Вот теперь составьте из одинаковых четырехугольных пирамид единичный куб и отсюда получите формулу.

Есть способ проще - погуглить и найти формулу :)[/qu
ewert в сообщении #238168 писал(а):
Ural в сообщении #238145 писал(а):
Хорхе, можем мы с Вами вывести объём тетраэдра (а может сначала обыкновенного тетраэдра, а потом однородного, ну ладно, с чего удобнее, чтобы понять откуда и что берется) в следующем смысле. Вы даёте мне подсказки,

Я хоть и не Хорхе, но подсказку дам: какое отношение объём тетраэдра имеет к его "однородности"?... и даже к "обыкновенности"?...

Однородный тетраэдр, как я уяснил - это тело, образованное четыремя правильными треугольниками с общими вершинами. Тоесть однородный тетраэдр называется по-другому правильным.
Я, согласно выше выложенному мною ходу решения, попытался найти центр тяжести, но с ответом не сошлось.

-- Ср авг 26, 2009 21:14:12 --

Ural в сообщении #238015 писал(а):
Хорхе в сообщении #237946 писал(а):
Так а чем наметки плохие? Только "разность" надо понимать в подходящем смысле, во взвешенном.

$z_c=\frac {z_{c_1}\cdot V_1-z_{c_2}\cdot V_2}{V_1-V_2}$, где $z_{c_1}$, $z_{c_2}$ - координаты центра масс по оси $z$ неусеченного однородного тетраэдра и отброшенного при его сечении, когда образуется усеченный тетраэдр с основаниями, площади которых известны (большая - $a$, а маленькая - $b$), $V_1$ и $V_2$ - объемы неурезанного тетраэдра и отброшенного при его сечении.
Трудновато найти координаты центров масс этих тетраэдров и т.д.

С ответом не сошлось (может требуется преобразование), но получилось вот что: $z_c=\frac {4 \sqrt {2}/3^{7/ 4}(a^2-b^2/2)-hb\sqrt {b}}{a\sqrt {a}-b\sqrt {b}}$


Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение26.08.2009, 21:19 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ural в сообщении #238200 писал(а):
Однородный тетраэдр, как я уяснил - это тело, образованное четыремя правильными треугольниками с общими вершинами. Тоесть однородный тетраэдр называется по-другому правильным.
Непрвильно уяснили.
Однородность означает "равномерность плотности", если можно так выразиться. В противном случае данных задачи было бы слишком мало для нахождения решения.
А вот правильность тетраэдра (или ее отсутствие( никоим образом не влияет на ответ.
Цитата:
С ответом не сошлось (может требуется преобразование), но получилось вот что: $z_c=\frac {4 \sqrt {2}/3^{7/ 4}(a^2-b^2/2)-hb\sqrt {b}}{a\sqrt {a}-b\sqrt {b}}$

Очень странный ответ! У Вас в числителе только одно слагаемое от h зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение26.08.2009, 21:28 


08/05/08
954
MSK
Ответ, вроде правильный в задачнике.
Подсказка: ц.м. лежит на прямой, соединяющей центры тяжести оснований.

Далее. Выберите систему координат так, чтобы начало отсчета совпадало с ц.м. основания и ось координат $z$ была направлена к ц.м. верхнего основания.

Чтобы найти ц.м., разбиваем усеченный тетраэдр на бесконечное число маленьких усеченных тетраэдров высотой $dz$

Масса каждого равна $dm=\rho dV$
Далее нужно выполнить интегрирования с пределами от $0$ до $h$ для формулы определяющей положение ц.м. в интегральной форме ( т.е. суммирование "заменяется" интегрированием - т.е. как бы от локальной геометрии переходим к интегральному виду).

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение26.08.2009, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Ural в сообщении #238200 писал(а):
С ответом не сошлось (может требуется преобразование), но получилось вот что: $z_c=\frac {4 \sqrt {2}/3^{7/ 4}(a^2-b^2/2)-hb\sqrt {b}}{a\sqrt {a}-b\sqrt {b}}$

Не понимаю, откуда может взяться столь странная константа --- $4 \sqrt {2}/3^{7/ 4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение27.08.2009, 06:01 
Аватара пользователя


04/07/09
47
VAL в сообщении #238299 писал(а):
Непрвильно уяснили.
Однородность означает "равномерность плотности", если можно так выразиться. В противном случае данных задачи было бы слишком мало для нахождения решения.

То что плотность тела в каждой точке одинакова - это понятно. Но я нашёл одну страничку http://wenninger.narod.ru/uniform.html.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение27.08.2009, 07:02 


08/05/08
954
MSK
Что-то не пойму, к чему эта ссылка.
Вы просто считайте.

1)Чему равен объем очень "низкого" усеченного тетраэдра: $dV=?$
2) Как этот объем связан с $z$?

Например, если бы у вас был не тетраэдр, а конус:

1) $dV= \pi r^2 dz$
2) Очень маленький слой $dz$ конуса есть почти цилиндр, поэтому
$r/z=R/z$, здесь $R$ - радиус основания конуса. Понятно? По аналогии напишите для тетраэдра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координата центра масс тетраэдра по оси z.
Сообщение27.08.2009, 08:57 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
e7e5 в сообщении #238305 писал(а):
Ответ, вроде правильный в задачнике.
Подсказка: ц.м. лежит на прямой, соединяющей центры тяжести оснований.

Далее. Выберите систему координат так, чтобы начало отсчета совпадало с ц.м. основания и ось координат $z$ была направлена к ц.м. верхнего основания.

Чтобы найти ц.м., разбиваем усеченный тетраэдр на бесконечное число маленьких усеченных тетраэдров высотой $dz$

Масса каждого равна $dm=\rho dV$
Далее нужно выполнить интегрирования с пределами от $0$ до $h$ для формулы определяющей положение ц.м. в интегральной форме ( т.е. суммирование "заменяется" интегрированием - т.е. как бы от локальной геометрии переходим к интегральному виду).
Данная задачка вполне может быть решена и без использования интегрального исчисления.
Достаточно заменить два тела (усеченный тетраэдр и отрезанную верхушку) точками, расположенными в центрах масс этих тел, с массами, пропорциональными их объемам. А далее учесть уже приводившийся здесь факт: центр масс тетраэдра отстоит от его основания на четверть высоты.

-- 27 авг 2009, 11:00 --

Ural в сообщении #238370 писал(а):
VAL в сообщении #238299 писал(а):
Непрвильно уяснили.
Однородность означает "равномерность плотности", если можно так выразиться. В противном случае данных задачи было бы слишком мало для нахождения решения.

То что плотность тела в каждой точке одинакова - это понятно. Но я нашёл одну страничку http://wenninger.narod.ru/uniform.html.
С терминологией, используемой в этой книжке не знаком. Она, мягко говоря, не общепринята.

-- 27 авг 2009, 11:01 --

Хорхе в сообщении #238335 писал(а):
Не понимаю, откуда может взяться столь странная константа --- $4 \sqrt {2}/3^{7/ 4}$.
Меня тоже испугал этот монстр.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group