2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Трудности с задачей про Землю
Сообщение28.07.2009, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Гипотетическую Землю:) Какой должна быть продолжительность суток, чтобы камень, лежащий на широте 60, оторвался от Земли? Текст задачи и мое решение: http://files.mail.ru/GF582L?t=1 Она в принципе легкая, только у меня два решения получается (с двумя разными ответами, правильный - второй), в зависимости от выбора к. осей (см. решение). Повезло, что сначала выбрал "неправильную" ось:) Вообще, уже сталкивался с такой проблемой, раньше я просто при анализе ответа, явно неправильного, просто выбирал другие к.о. Сейчас хочу разобраться в сути проблемы. Спасибо!

-- Вт июл 28, 2009 21:37:44 --

Все, всем спасибо:) Тема больше не актуальна, нашел ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с задачей про Землю
Сообщение28.07.2009, 20:42 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Вы приравняли результирующую силу нулю, а станет равной нулю не вся сила, а только её проекция на перпендикуляр к поверхности. Продольная составляющая не будет равна нулю - тело полетит вдоль поверхности в сторону экватора.

Во втором случае, поскольку вы рассматривали только компоненты вдоль оси Y, решение получилось правильным. При этом если вы в этом случае посчитаете компоненту вдоль оси X, то убедитесь, что она не равна нулю.

В первом случае, вы занулили компоненту вдоль оси X, а компонента вдоль оси Y останется ненулевой, причём эта сила будет по прежнему прижимать тело к поверхности. Т.е. тело так и не полетит.

На самом деле, в задаче подразумевается бесконечное трение, иначе камень поехал бы вдоль поверхности к экватору и при большем периоде, правда он бы не оторвался сразу, а только после того, как проехал бы до определённой широты. Но я не думаю, что этот эффект имели в виду составители задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с задачей про Землю
Сообщение28.07.2009, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Ну да, силу трения я вообще забыл:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с задачей про Землю
Сообщение29.07.2009, 00:56 
Заслуженный участник


15/05/09
1563
В дополнение к сказанному venco:

1) Не начинайте решение с выбора координатных осей - их использование суть вспомогательный и, вообще говоря, необязательный прием. Начинайте с рассмотрения физической сути, а выбор направления осей обусловится максимальным упрощением рассмотрения векторных величин.

В Вашем случае условие "камень оторвется от Земли" фактически переводится на язык физики как "сила взаимодействия камня с поверхностью Земли становится равной нулю (даже чуть "меньше" нуля, но это предельный переход)". При этом делается неявное допущение, что взаимодействие с Землей сводится к весу и нормальной реакции опоры, что на самом деле не так, однако, видимо, именно это подразумевал автор задачи (как отметил venco).

Далее рассматривайте движение камня - движение по окружности, соответствующей заданной широте. Следовательно, равнодействующей всех сил является центростремительная сила, направленная перпендикулярно оси Земли.

Таким образом, для рассмотрения важны две силы: сила тяжести и центростремительная сила. Одна из них и определяет удобное для расчетов направление оси; собственно, вторая ось и не нужна. Поскольку в момент, соответствующий отрыву, взаимодействия с поверхностью Земли (в нормальном к ней направлении) нет, только сила тяжести может создавать соответствующую компоненту центростремительной силы. Кстати, отсюда вполне очевидно, что взаимодействие в касательном направлении с поверхностью Земли обязано присутствовать, иначе центростремительная сила вынужденно совпадет с силой тяжести. Далее - дело техники.

Конечно, можно задать вопрос, почему сила тяжести является компонентой (частью) центростремительной силы, а не наоборот. Ответ очень простой: центростремительная сила - абстракция, равнодействующая, т.к. нет такого взаимодействия "стремление к центру". В то же время именно сила тяжести и сила трения явлюятся характеристиками двух взаимодействий, в которые вступает в данном случае камень: гравитационное с Землей и трения (э/м) с поверхностью Земли. А уж результат таков, что камень движется по окружности.

2) Для проверки корректности решения есть простой прием, применимый во многих случаях: проверка на граничных условиях. В данной задаче одним из очевидных граничных условий является нахождение камня на полюсе. Очевидно, что при любой конечной скорости вращения Земли камень не сдвинется с места, чего не происходит для случая $\varphi\ne 90$. Поэтому широта обязана входить в окончательную формулу, причем так, что при $\varphi=90$ должна получится бесконечно большая скорость вращения. В первом варианте это не так.

Этот способ, конечно, не дает возможности получить правильное решение, однако позволяет заметить явную ошибочность решения, а также зачастую получить качественную оценку решения (в данном случае - с большой вероятностью $\cos\varphi$ в положительной степени должен входить как сомножитель.

3) Методически, видимо, не очень хорошо, но тем не менее можно рассмотреть поведение камня в неинерциальной ИСО, связанной с камнем. В этом случае в момент отрыва на камень действуют три силы: сила тяжести, сила инерции и сила трения. Поскольку последняя касательна к поверхности, а мы рассматриваем в качестве условия отрыва равенство нулю проекции равнодействующей на перпендикулярное к поверхности Земли направление, то следует учитывать лишь первые две силы. Далее решение очевидно.

Методически нехорошо потому, что изложение представлений о неинерциальных СО и силах инерции в большинстве случаев настолько запутанно и запущено, что их использование может привести (и приводит) к устойчивым заблуждениям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с задачей про Землю
Сообщение29.07.2009, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6592
Не думал я, что всё тут так сложно. Нас в школе учили по-другому. Нарисуешь пару стрелочек, спроектируешь их на оси, приравняешь проекции к нулю и дело с концом. Предлагаю задачу обобщить. Допустим Земля вертится с вычисленной в предыдуей задаче скоростью. Что дальше будет с телом, оторвавшимся от Земли на широте 60 градусов? Т.е. какова будет траектория тела? Интуиция подсказывает, что тело будет двигаться по эллипсу, который касается Земли в двух точках - точке отрыва и противоположной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с задачей про Землю
Сообщение31.07.2009, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
PapaKarlo
Спасибо вам большое, хорошо объяснили:) Проверку на граничных условиях я и сам использую. Это и побудило меня искать ошибку в решении и нахождение второго варианта. Кстати, я когда вектор проецирую, поступаю тоже похожим образом. Мысленно разворачиваю "конструкцию" (накл. плоскость например) до нулевого угла и смотрю: если проекция=длине вектора, значит косинус, в противном случае синус:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group