Одна конечная сумма

[Станислав Радионов]

Возник вопрос о нахождении одной конечной суммы:
$\sum_{n=1}^{50} 1/(n^2+5^2)$
Ответ в Mathematica и Maple представляет собой огромную дробь,я хотел бы знать, нет ли какого-либо простого способа вычисления этой суммы, без привлечения программ. Заранее спасибо.

[Полосин]

$$ \sum_{k=0}^{+\infty}\frac1{k^2+a^2}=\frac1{2a^2}+\frac{\pi}{2a}\cth(\pi a)=\sum_{k=0}^{N}\frac1{k^2+a^2}+O\left(\frac1N\right) $$

[Станислав Радионов]

Но это позволит найти сумму с точностью до $O(\frac{1}{N})$, так ведь? А если нужно точное значение?

[ИСН]

Точное значение Вам дали Mathematica и Maple. Оно вот такое.

[Станислав Радионов]

Неужели нет нормального способа нахождения этой суммы, без тупого суммирования пятидесяти дробей?

[venco]

Как вариант, можно по тупому просуммировать бесконечный ряд.

[Станислав Радионов]

И что это даст?

[ИСН]

Это даст сумму с точностью до $O(\frac{1}{N})$.
(Если Вы хотите не того и не этого, то чего же?)

[juna]

Хорошее приближение дает выражение:

$\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k^2+25}\approx \frac{1}{50}+\frac{\pi}{10}\coth(5\pi)-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{49}{6n^3}+\frac{25}{2n^4}-\frac{3499}{30n^5}$

которое можно уточнять и далее.