2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 02:32 


02/05/09
580
Какой бы абстрактной не была математика, у всего есть аналог, что такое число: точка, круг, шар, дыра, звазда, волна, энергия, решетка, пружина, спираль, труба, и п. п..

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 03:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
докер в сообщении #220528 писал(а):
Какой бы абстрактной не была математика, у всего есть аналог

Очень спорное утверждение. Я бы сказал так: в реальном мире есть экземпляр математического объекта с достаточно близкими свойствами ("наследуемыми"?). Например, экземплярами отрезка (математического объекта) могут служить линейка, натянутая нить и т. п. Экземплярами натурального числа могут служить наборы однородных объектов заданного размера: яблок, груш, слив.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 05:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Натуральное число --- это набор камешков. Так у Пифагора было, по крайней мере. У него еще были квадратные числа (это если из такого количества камешков можно выложить квадрат), треугольные и т.п.

В последнее время наборы камешков уступают место наборам палочек на бумаге. :) Вот, скажем, в книге Марков А.А., Нагорный Н.М. — Теория алгорифмов:
"Ряды вертикальных черточек вроде нашего рисунка, включая и „пустой" ряд, в состав которого не входит ни одна черточка(его можно представить себе в виде чистого листа бумаги), мы будем называть натуральными числами."

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 07:34 
Аватара пользователя


19/05/09
53
Москва
Ну, в математике действительно есть некоторые аналоги "бытовой" жизни.

Как, например, возникли числа?
Люди отсчитывали первое яблоко, 2, 3, 4, 5 яблоко... Отсчитывали, в основном, визуально, на полуинтуитивном уровне.
Другие же подсчитывали, например, количество стрел, камней, наконечников, монет или чего-то иного.
И в этот момент кто-то умный догадался, что все явления количества можно привести к единой обобщённой модели - натуральным числам, которые годятся для подсчёта любых предметов (впрочем, только для подсчёта их "прибытия", но с недостачей так не получится). Так возникла одна из первых математических абстракций.
Вскоре появился и ноль, а затем и просто целые числа. Но люди поняли, что не всё можно измерить целыми.
Например, если мы имеем какое-то одно блюдо, принятое за единицу, то никаким образом мы не сможем выразить кусочек этого блюда как целое число.
Так появились рациональные числа и дроби, а после них, с развитием математики и из-за необходимости решать "нерешаемые" уравнения, возникло и множество действительных чисел. Ну и так далее. :)

Такая же история, как сказал Бодигрим, произошла и с геометрией - они (её основоположники) начали искать общее в пространственных явлениях нашего мира. Они придумали отрезки, который представляет собой любую ограниченную двумя точками линию (в общих чертах) и так далее. Бодигрим уже привёл примеры. Разумеется, людям хотелось некоторой точности, а потому геометрия сразу объединилась со "счётной" математикой, и начала выражать особенности и свойства пространства при помощи чисел, что дало серьёзный скачок к развитию, например, архитектуры.

Так что я бы не сказал, чтобы математика была слишком уж абстрактной - она имеет довольно чёткие связи с реальным миром.
Насколько мне известно, даже самые вроде бы абстрактные области математики применяются, например, в физике.
Дело лишь в том, что практическое их применение намного сложнее увидеть, так как оно не такое очевидное, как, например, у чисел, точек и отрезков.

Есть один любопытный момент - некоторые области математики возникают как обобщение других областей, что приводит к ещё большим непоняткам.

Лично я себе представляю всё это как-то так. :)

p.s.: извиняюсь за немного кривой язык и невозможность перепроверить написанное - у меня в гостях довольно активный знакомый, с ним за компьютером много не посидишь. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 08:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Mixo123 в сообщении #220558 писал(а):
Вскоре появился и ноль, а затем и просто целые числа. Но люди поняли, что не всё можно измерить целыми.
Например, если мы имеем какое-то одно блюдо, принятое за единицу, то никаким образом мы не сможем выразить кусочек этого блюда как целое число.
Так появились рациональные числа и дроби, а после них, с развитием математики и из-за необходимости решать "нерешаемые" уравнения, возникло и множество действительных чисел. Ну и так далее. :)

В реальности все было несколько сложнее. :)
Пифагорейцы (а до них - египтяне) знали натуральные(положительные целые) и положительные рациональные числа. Отрицательные числа у них не использовались, да и потом в др.-греческой математике тоже
Отрицательные числа использовались при расчетах в Индии, оттуда пришли к арабам.

А вот с иррациональными числами была целая история.
Пифагорейцы думали, что отношение любых отрезков можно представить рациональным числом. Когда удалось доказать, что диагональ и сторона квадрата таким образом не соотносятся, это стало у пифагорейцев страшной тайной. Пифагорейская математика вообще была мистическим учением.

-- Пн июн 08, 2009 08:22:33 --

Mixo123 в сообщении #220558 писал(а):
Разумеется, людям хотелось некоторой точности, а потому геометрия сразу объединилась со "счётной" математикой, и начала выражать особенности и свойства пространства при помощи чисел, что дало серьёзный скачок к развитию, например, архитектуры.

Было наоборот. Числовые соотношения греческие математики записывали с помощью геометрических построений, а арифметика после пифагорейцев развивалась в греции слабо. А вычисления стояли отдельно от математики - математика долгое время считалась чем-то мистическим, а потом была связана с философией, а практические вычисления считались делом ремесленников.
А вот алгебра, способы решения уравнений, идет от арабов (слово "алгебра" происходит от арабского слова, означающего "книга").

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 08:26 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
В.Н.Салий. "Математика и информатика". Возможно, Вам это будет интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 08:32 
Аватара пользователя


19/05/09
53
Москва
Xaositect, большое спасибо за информацию. Я и не претендовал на историческую точность - всего лишь моё скромное мнение. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 08:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Mixo123 в сообщении #220574 писал(а):
Xaositect, большое спасибо за информацию. Я и не претендовал на историческую точность - всего лишь моё скромное мнение. :)
Ну, для современного человека такая последовательность кажется более естественной. Часто в учебнках цепочку вложений числовых структур рисуют:
$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$
В такой последовательности их удобно строить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 08:50 
Аватара пользователя


19/05/09
53
Москва
$\mathbb{C}$ - что за числа? О_О

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 08:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
$\mathbb{C}$ - комплексные. В них можно решить уравнение $x^2 = -1$. Ну и вообще, любой многочлен выше нулевой степени имеет корень

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 10:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Xaositect в сообщении #220576 писал(а):
В такой последовательности их удобно строить.

Вообще-то в такой последовательности они просто вкладываются. А вот строятся $\mathbb R$ и $\mathbb C$ в некотором смысле независимо друг от друга, во всяком случае, причины их появления -- совершенно разные.

А если дополнить цепочку до $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{A}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C},$ то $\mathbb R$ ещё резче выбивается из общей логики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
ewert в сообщении #220601 писал(а):
Вообще-то в такой последовательности они просто вкладываются. А вот строятся $\mathbb R$ и $\mathbb C$ в некотором смысле независимо друг от друга, во всяком случае, причины их появления -- совершенно разные.

Ну, классическое построение $\mathbb{C}$ делается все-таки на основе $\mathbb{R}$ - либо как $\mathbb{R}^2$ со специальным образом введенными операциями, либо как $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$

А вот с $\mathbb{R}$ действительно сложнее. Если через дедекиндовы сечения - то на основе $\mathbb{Q}$, но могут быть и другие варианты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 10:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Стимулы разные. Каждый из переходов, вплоть до $\mathbb C,$ был обусловлен потребностью решать те или иные уравнения. А вот $\mathbb R$ -- никакими не уравнениями, а необходимостью полноты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 10:20 
Аватара пользователя


19/05/09
53
Москва
ewert, а $x^2=2$? Ответом же будет $\pm\sqrt{2}$.
Но тогда получается, что вроде как и для уравнений $\mathbb{R}$ тоже нужны. :shock:
Или Вы про историческое появление?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое число?
Сообщение08.06.2009, 10:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Mixo123 в сообщении #220610 писал(а):
ewert, а $x^2=2$? Ответом же будет $\pm\sqrt{2}$.
Но тогда получается, что вроде как и для уравнений $\mathbb{R}$ тоже нужны. :shock:
Или Вы про историческое появление?

Для этого достаточно не всего $\mathbb{R}$, а $\mathbb{A}$ - поля алгебраических чисел.
В $\mathbb{R}$, помимо решения уравнений, еще можно брать пределы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 76 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group