2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 эквивалентные матрицы
Сообщение20.04.2006, 09:17 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
На квадратных матрицах n*n введём элементарные операции:
1) перестановка строк или столбцов
2) умножение всех элементов одной строки или столбца на (-1).
Две матрицы n*n будем считать эквивалентными, если такими элементарными преобразованиями можно одну из них преобразовать в другую.
1. При каких n>3 две матрицы A и B эквивалентны, если обе матрицы состоят из элементов 1 или -1, у А все элементы 1 за исключением первого элементов расположенных в верхнем левом угле 3*3, где стоят -1(всего 9 элементов равны -1), у B (-1) в верхнем левом угле 4*4, остальные элементы 1.
2. Сколько взаимно неэквивалентных матриц все элементы которых или 1 или -1?
3. Можете ли указать эффективный алгоритм для определения эквивалентны или нет две матрицы, состоящие из 1 или -1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.04.2006, 03:12 


10/08/05
54
1) это совсем просто. При указанных преобразованиях кол-во прямоугольников с произведением чисел в вершинах $-1$ остается постоянным.
Пусть есть две матрицы $n\times n$ с левыми верхними подквадратами из $-1$ размером $k_1$и $k_2$.
Они эквивалентны при $n=k_1+k_2$, т.к. значение инварианта $k^2_i(n-k_i)^2$.
Построить эквивалентность тоже элементарно - умножив в первой матрице первые $k_1$ строк и последние $k_2=n-k_1$ столбцов
получим матрицу с подквадратом из -1 размером $k_2\times k_2$ в правом нижнем углу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 20:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Решение 1. всё правильно, хотя она решается и более простыми инвариантами, вычисленными по модулю n.
Что касается других пунктов окончательного ответа я и сам не знаю. Думал, что такие задачи интересны maxalу, и возможно, что нибудь то получит вид окончательного ответа. Например, является ли инвариант указанный evgeniy полным (т.е., если указанные инварианты совпадают, то действительно ли матрицы эквивалентны), и какое множество возможных значений у этого инварианта и т.д.
Раз нет интереса у форумчан, закрываем тему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group