2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение19.04.2006, 16:21 


06/03/06
150
Cat писал(а):
Так все таки как определяется это множество Бернштейна?


Определение его дал.

Такс, лень самому строить..

Тут не то что я имел в виду
http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=20&page=12
только в континуум гипотезе строится. Как то по другому называются такие множества, автор, похоже, название перепутал..

В книге Энгелькинга посмотрите, там по предметному указателю найти можно
http://lib.mexmat.ru/books/2573

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.04.2006, 01:28 
Аватара пользователя


21/10/05
167
Иркутск
Спасибо, буду разбираться. Надеюсь книга такая у нас в библиотеке есть

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2006, 08:01 
Аватара пользователя


21/10/05
167
Иркутск
Все таки книги такой в библиотеке у нас в городе нету, поэтому попытаюсь построить таки это несчастное неборелевское множество:
Возьмем канторово множество - R, G: [0,1]-R
И определим функцию f(x) таким образом: f(x)=1, если х не является концом интервала в R, во всех остальных случаях f(x)=0. Будет ли эта фуннкция небэровской и как от нее перейти к неборелевскому множеству?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2006, 13:10 


06/03/06
150
Cat писал(а):
Все таки книги такой в библиотеке у нас в городе нету,


в иненте она есть

Но там самого построения нет, только указание - строить по трансфинитной индукции.

Cat писал(а):
поэтому попытаюсь построить таки это несчастное неборелевское множество:
Возьмем канторово множество - R, G: [0,1]-R

И определим функцию f(x) таким образом: f(x)=1, если х не является концом интервала в R, во всех остальных случаях f(x)=0. Будет ли эта фуннкция небэровской


да, любопытно. не могу чего то сообразить..

определение функции немного не однозначное, я понял так - функция =1 в точках из R, к которым примыкает интервал открытый из дополнения к R. Правильно?

Cat писал(а):
и как от нее перейти к неборелевскому множеству?

не перейдешь, думаю

насчет построения Берштейновского множества

Теорема 1'. Пусть $\mathcal{F}$ семейство подмножеств отрезка $[0,1]$, $|\mathcal{F}|=2^{\aleph_0}$ и $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in\mathcal{F}$. Тогда существует иньективное отображение $p:\mathcal{F}\to [0,1]$, так что $p(F)\in F$ для каждого $F\in\mathcal{F}$.
Доказательство. Определим отображение $p$ с помощью трансфинитной индукции. Занумеруем семейство $\mathcal{F}$ ординалами до $2^{\aleph_0}$, $\mathcal{F}=\{F_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\}$.
База индукции. Выбирем $p(F_0)\in F_0$ произвольным образом.
Шаг индукции. Пусть $\alpha<2^{\aleph_0}$. Предположим, что определили $p(F_\beta)\in F_\beta$ для каждого $\beta<\alpha$. Так как $|F_\alpha|=2^{\aleph_0}$, то множество $C_\alpha=F_\alpha\setminus\{p(F_\beta): \beta<\alpha\}$ не пусто. Выберем $p(F_\alpha)$ из $C_\alpha$.
Построение завершено.

Я размышлял, можно ли доказать эту теорему без трансфинитной индукции, вроде теоремы Кантора-Берштейна.. Непонятно.

Ради наглядности формулировки эту теорему привел, пользоватся ей не очень удобно, нам нужно несколько более сильное утверждение.

Для множества $X$ обозначим через $\mathcal{P}(X)$ множество всех подмножеств множества $X$.

Теорема 1. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует иньективное отображение $p:A\to [0,1]$, так что $p(\alpha)\in F(\alpha)$ для каждого $\alpha\in A$.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $A$ является множеством ординалов до $2^{\aleph_0}$, $A = \{\alpha: \alpha<2^{\aleph_0}\}$. Определим отображение $p$ с помощью трансфинитной индукции.
База индукции. Выбирем $p(0)\in F_0$ произвольным образом.
Шаг индукции. Пусть $\alpha<2^{\aleph_0}$. Предположим, что определили $p(\beta)\in F(\beta)$ для каждого $\beta<\alpha$. Так как $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$, то множество $C_\alpha=F(\alpha)\setminus\{p(\beta): \beta<\alpha\}$ не пусто. Выберем $p(\alpha)$ из $C_\alpha$.
Построение завершено.

Следствие 2. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует иньективные отображения $p_1:A\to [0,1]$ и $p_2:A\to [0,1]$, так что $p_1(\alpha)\in F(\alpha)$, $p_2(\alpha)\in F(\alpha)$ и $p_1(\alpha)\ne p_2(\alpha)$ для каждого $\alpha\in A$.
Доказательство. В силу теоремы 1, существует иньективное отображение $p_1:A\to [0,1]$, так что $p_1(\alpha)\in F(\alpha)$ для каждого $\alpha\in A$. К отображению $F':A\to \mathcal{P}([0,1]): \alpha\mapsto F(\alpha)\setminus\{p_1(\alpha)\}$ еще раз применим теорему 1 и выберем иньективное отображение $p_2:A\to [0,1]$, так что $p_2(\alpha)\in F'(\alpha)=F(\alpha)\setminus\{p_1(\alpha)\}$ для каждого $\alpha\in A$.

Следствие 3. Пусть $\mathcal{F}$ семейство подмножеств отрезка $[0,1]$, $|\mathcal{F}|=2^{\aleph_0}$ и $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in\mathcal{F}$.
Тогда существует иньективные отображения $p_1:\mathcal{F}\to [0,1]$ и $p_2:\mathcal{F}\to [0,1]$, так что $p_1(F)\in F$, $p_2(F)\in F$ и $p_1(F)\ne p_2(F)$ для каждого $F \in \mathcal{F}$.

Доказательство. К тождественному отображению $id_{\mathcal{F}}:\mathcal{F}\to \mathcal{F}: F\mapsto F$ применим следствие 2.

Для построение множеств Берштейна не нужно, но сформулирую следующий полезный факт

Следствие 4. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует отображение $p:A\to \mathcal{P}([0,1])$, так что $p(\alpha)\subset F(\alpha)$, $|p(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$ и $p(\alpha)\cap p(\beta)=\varnothing$ для любых различных $\alpha,\beta\in A$.


Напомню, множество $B\subset [0,1]$ называется множеством Берштейна, если $F\cap B\ne \varnothing$ и $F\setminus B\ne \varnothing$ для каждого несчетного замкнутого $F\subset [0,1]$.

Обозначим через $\mathcal{C}$ семейство несчетных замкнутых подмножеств $[0,1]$.

Для построения множества Берштейна надо еще пару простых фактов.

Факт 4. $|\mathcal{C}|=2^{\aleph_0}$

Факт 5. $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in \mathcal{C}$

Построение множества Берштейна. Из следствия 3 и фактов 3,4 вытекает, что существует иньективные отображения $p_1:\mathcal{C}\to [0,1]$ и $p_2:\mathcal{C}\to [0,1]$, так что $p_1(F)\in F$, $p_2(F)\in F$ и $p_1(F)\ne p_2(F)$ для каждого $F \in \mathcal{C}$. Определим множество Берштейна: $B=\{p_1(F): F\in \mathcal{C}\}$. Проверим, что построенное $B$ удовлетворяет определению множества Берштейна. Пусть $F\in \mathcal{C}$. Тогда $p_1(F)\in F\cap B\ne \varnothing$ и $p_2(F)\in F\setminus B\ne \varnothing$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2006, 13:21 


06/03/06
150
ну, так старался, текст набирал красиво и ошибок понаделал, там надо достаточно много исправлять, начиная со следствия 2 :( попозже исправлю

 Профиль  
                  
 
 построения Берштейновского множества
Сообщение26.04.2006, 16:39 


06/03/06
150
Теорема 1'. Пусть $\mathcal{F}$ семейство подмножеств отрезка $[0,1]$, $|\mathcal{F}|=2^{\aleph_0}$ и $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in\mathcal{F}$. Тогда существует иньективное отображение $p:\mathcal{F}\to [0,1]$, так что $p(F)\in F$ для каждого $F\in\mathcal{F}$.
Доказательство. Определим отображение $p$ с помощью трансфинитной индукции. Занумеруем семейство $\mathcal{F}$ ординалами до $2^{\aleph_0}$, $\mathcal{F}=\{F_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\}$.
База индукции. Выбирем $p(F_0)\in F_0$ произвольным образом.
Шаг индукции. Пусть $\alpha<2^{\aleph_0}$. Предположим, что определили $p(F_\beta)\in F_\beta$ для каждого $\beta<\alpha$. Так как $|F_\alpha|=2^{\aleph_0}$, то множество $C_\alpha=F_\alpha\setminus\{p(F_\beta): \beta<\alpha\}$ не пусто. Выберем $p(F_\alpha)$ из $C_\alpha$.
Построение завершено.

Ради наглядности формулировки эту теорему привел, пользоватся ей не очень удобно, нам нужно несколько более сильное утверждение.

Для множества $X$ обозначим через $\mathcal{P}(X)$ множество всех подмножеств множества $X$.

Теорема 1. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует иньективное отображение $p:A\to [0,1]$, так что $p(\alpha)\in F(\alpha)$ для каждого $\alpha\in A$.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $A$ является множеством ординалов до $2^{\aleph_0}$, $A = \{\alpha: \alpha<2^{\aleph_0}\}$. Определим отображение $p$ с помощью трансфинитной индукции.
База индукции. Выбирем $p(0)\in F_0$ произвольным образом.
Шаг индукции. Пусть $\alpha<2^{\aleph_0}$. Предположим, что определили $p(\beta)\in F(\beta)$ для каждого $\beta<\alpha$. Так как $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$, то множество $C_\alpha=F(\alpha)\setminus\{p(\beta): \beta<\alpha\}$ не пусто. Выберем $p(\alpha)$ из $C_\alpha$.
Построение завершено.

Следствие 2. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует иньективные отображения $p_1:A\to [0,1]$ и $p_2:A\to [0,1]$, так что $p_1(\alpha)\in F(\alpha)$, $p_2(\beta)\in F(\beta)$ и $p_1(\alpha)\ne p_2(\beta)$ для любых $\alpha,\beta\in A$.
Доказательство. Пусть $A'=A\times\{1,2\}$, $\pi:A'\to A$ естественная проекция, $F'=F\circ \pi$. Применя к $A'$ и $F'$ теорему 1, получаем, что существует иньективное отображение $p':A'\to  [0,1]$, так что $p'(\alpha')\in F'(\alpha')$ для каждого $\alpha'\in A'$. Определим искомые отображения $p_1$ и $p_2$. Для $\alpha\in A$ положим $p_1(\alpha)=p'(\alpha,1)$ и $p_2(\alpha)=p'(\alpha,2)$.

Следствие 3. Пусть $\mathcal{F}$ семейство подмножеств отрезка $[0,1]$, $|\mathcal{F}|=2^{\aleph_0}$ и $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in\mathcal{F}$.
Тогда существует иньективные отображения $p_1:\mathcal{F}\to [0,1]$ и $p_2:\mathcal{F}\to [0,1]$, так что $p_1(F)\in F$, $p_2(G)\in G$ и $p_1(F)\ne p_2(G)$ для каждых $F,G \in \mathcal{F}$.

Доказательство. К тождественному отображению $id_{\mathcal{F}}:\mathcal{F}\to \mathcal{F}: F\mapsto F$ применим следствие 2.

Для построение множеств Берштейна не нужно, но сформулирую следующий полезный факт

Следствие 4. Пусть $A$ множество, $F:A\to \mathcal{P}([0,1])$, $|A|=2^{\aleph_0}$ и $|F(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$. Тогда существует отображение $p:A\to \mathcal{P}([0,1])$, так что $p(\alpha)\subset F(\alpha)$, $|p(\alpha)|=2^{\aleph_0}$ для каждого $\alpha\in A$ и $p(\alpha)\cap p(\beta)=\varnothing$ для любых различных $\alpha,\beta\in A$.
Доказательство. Пусть $A'=A\times[0,1]$, $\pi:A'\to A$ естественная проекция, $F'=F\circ  \pi$. Применя к $A'$ и $F'$ теорему 1, получаем, что существует иньективное отображение $p':A'\to  [0,1]$, так что $p'(\alpha')\in F'(\alpha')$ для каждого $\alpha'\in A'$. Определим искомое отображение $p$. Для $\alpha\in A$ положим $p(\alpha)=\{p'(\alpha,t): t\in[0,1]\}$.

Напомню, множество $B\subset [0,1]$ называется множеством Берштейна, если $F\cap B\ne \varnothing$ и $F\setminus B\ne \varnothing$ для каждого несчетного замкнутого $F\subset [0,1]$.

Обозначим через $\mathcal{C}$ семейство несчетных замкнутых подмножеств $[0,1]$.

Для построения множества Берштейна надо еще пару простых фактов.

Факт 4. $|\mathcal{C}|=2^{\aleph_0}$

Факт 5. $|F|=2^{\aleph_0}$ для каждого $F\in \mathcal{C}$

Построение множества Берштейна. Из следствия 3 и фактов 4,5 вытекает, что существует иньективные отображения $p_1:\mathcal{C}\to [0,1]$ и $p_2:\mathcal{C}\to [0,1]$, так что $p_1(F)\in F$, $p_2(G)\in G$ и $p_1(F)\ne p_2(G)$ для всех $F,G \in \mathcal{C}$. Определим множество Берштейна: $B=\{p_1(F): F\in \mathcal{C}\}$. Проверим, что построенное $B$ удовлетворяет определению множества Берштейна. Пусть $F\in \mathcal{C}$. Тогда $p_1(F)\in F\cap B\ne \varnothing$ и $p_2(F)\in F\setminus B\ne \varnothing$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2006, 08:55 
Аватара пользователя


21/10/05
167
Иркутск
Я думаю препод будет в шоке ;)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2006, 16:38 
Аватара пользователя


21/10/05
167
Иркутск
er писал(а):


И определим функцию f(x) таким образом: f(x)=1, если х не является концом интервала в R, во всех остальных случаях f(x)=0. Будет ли эта фуннкция небэровской

да, любопытно. не могу чего то сообразить..

определение функции немного не однозначное, я понял так - функция =1 в точках из R, к которым примыкает интервал открытый из дополнения к R. Правильно?


Немного не так, функция равна 1 в тех точках из R, которые не являются концами дополнительных интервалов, а в остальных точках отрезка она равна 0.Вроде бы она небэровская, не 1 класса точно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2006, 16:40 
Аватара пользователя


21/10/05
167
Иркутск
Большое спасибо за теоремы, буду разбираться

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 00:42 


06/03/06
150
Cat писал(а):
Я думаю препод будет в шоке ;)


Да, похоже палку перегнул с формализмом. Можно значительно нагляднее "на пальцах" про множества Берштейна рассказать.

И, кроме того, для доказательства того что множество Берштейна не борелевское, надо использовать вполне нетривиальную теорему, что в любом несчетном борелевском множестве есть замкнутое несчетное (ну, строится множество, гомеоморфное канторову дисконтинууму) подмножество.

Проще всего показать существование не борелевских множеств, использую мощностные соображения. Всего подмножеств отрезка - $2^{2^{\aleph_0}}$, борелевских - всего $2^{\aleph_0}$.

Но это как то не конструктивно. :)

Можно придумать "конструктивное" доказательство, замаскировав в нем теорему Кантора.

Обозначим через $\mathcal{B}$ семейство всех борелевских множеств, через $\mathbb{C}$ - Канторов дисконтинуум.

Факт.$|\mathcal{B}|=2^{\aleph_0}$

Построение измеримого не борелевского множества. Так как $|\mathcal{B}|=2^{\aleph_0}$, то существует взаимноодназначное отображение $\phi:\mathbb{C} \to \mathcal{B}$. Положим $M=\{c\in \mathbb{C}: c\notin \phi(c)\}$. Покажем, что множество $M$ искомое. Так как $M\subset \mathbb{C}$, то множество $M$ имеет меру нуль, и, поэтому, измеримо. Докажем, что множество $M$ не борелевское, то есть $M\notin \mathcal{B}$. Пусть $L\in \mathcal{B}$. Покажем, что $M\ne L$. Для некоторого $l\in \mathbb{C}$, $\phi(l)=L$. Расмотрим случаи:
1) $l\in \phi(l)$. Тогда $l\notin M$;
2) $l\notin \phi(l)$. Тогда $l\in M$.
В любом случае, получаем, что $M\ne \phi(l)=L$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 00:42 


06/03/06
150
Cat писал(а):
Немного не так, функция равна 1 в тех точках из R, которые не являются концами дополнительных интервалов, а в остальных точках отрезка она равна 0.Вроде бы она небэровская, не 1 класса точно.


Похоже, не первого.. Но уже второго :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.06.2006, 02:36 
Аватара пользователя


21/10/05
167
Иркутск
$c\notin\phi(c)$ - значит с не лежит в образе с?
То есть точка с не лежит в подмножестве множества В, являюшегося образом с?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.06.2006, 10:06 


06/03/06
150
Cat писал(а):
$c\notin\phi(c)$ - значит с не лежит в образе с?
То есть точка с не лежит в подмножестве множества В, являюшегося образом с?


$c$ не лежит в элементе $\phi(c)\subset\mathbb{R}$ семейства $\mathcal{B}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group