2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 УРвЧП в нецилиндрической области
Сообщение28.04.2009, 18:47 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
Есть такая статья, про псевдопараболические уравнения в нецилиндрической области (автор - Глазатов).

Рассматривается задача $u_t-u_{xx}-u_{xxt}=f$, $u|_{t=0}=u_0$, $u|_\Gamma=0$ в области (расширяющейся) $Q$.
Область дополняется до цилиндра $Q_T$ и рассматривается новая задача $u^\varepsilon_t-u^\varepsilon_{xx}-u^\varepsilon_{xxt}+\varepsilon^{-1}Pu^\varepsilon=f$, $u^\varepsilon|_{t=0}=u_0$, $u^\varepsilon|_{\Gamma_T}=0$ в $Q_T$.
Дальше доказываются равномерные по $\varepsilon$ оценки на $u$ и производные и выполняется предельный переход $\varepsilon\to 0$. В общем все довольно стандартно. В результате получаем, что $u\in L_2(0,T;\mathring W^1_2(\Omega))$, $u_t\in L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$ ($\Omega$ - проекция $Q_T$ на пространственные координаты), а также $u=0$ п.в. в $G=Q_T\setminus Q$. Значит в одномерном случае $u(\cdot,\tau)\in W^1_2(\Omega)\subset C(\Omega)$, откуда $u|_\Gamma=0$.

Теперь, внимание, вопрос! Раз $u=0$ в $G$, то и $u_t=0$ в $G$, значит, аналогично предыдущим рассуждениям $u_t|_\Gamma=0$, но этого в исходной постановке не было и можно придумать задачу, в которой данное условие выполняться не будет. Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2009, 22:00 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Я не все понял и $P$ не определено. Оlнако, если продолжить решение нулем в $Q_T$, то производная по $u_t$ на $\Gamma$, возможно, не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: УРвЧП в нецилиндрической области
Сообщение29.04.2009, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
MaximKat писал(а):
... В результате получаем, что $u\in L_2(0,T;\mathring W^1_2(\Omega))$, $u_t\in L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$ ...


А у меня вопрос по обозначениям и не в тему, тем не менее:

Существует $u_t\in L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$, почему $u\in L_2(0,T;\mathring W^1_2(\Omega))$ а не в $ W^1_2(0,T;W^1_2(\Omega))$? Или это одно и то же пространство?

Если нет, и $u\in L_2(0,T;\mathring W^1_2(\Omega))$ то что такое производная $u_t$?


PS Пространства Соболева в книге Эванса обозначаются слегка по-другому. Поэтому и вопрос :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2009, 01:41 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
Gafield писал(а):
Я не все понял и $P$ не определено. Оlнако, если продолжить решение нулем в $Q_T$, то производная по $u_t$ на $\Gamma$, возможно, не существует.
Подробнее в самой статье. Р - оператор штрафа, например проекционный оператор на множество достаточно гладких функций равных 0 в $G$
Если $u_t$ из $L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$, то след на $\Gamma$ существует, разве нет?

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Dan B-Yallay в сообщении #209298 писал(а):
А у меня вопрос по обозначениям и не в тему, тем не менее:

Одно другому не мешает. $u$ из одного пространства, а ее производная существует и из другого пространство. Вот такое вот обозначение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2009, 15:55 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Цитата:
Если $u_t$ из $L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$, то след на $\Gamma$ существует, разве нет?

Будет. Если определение пространства стандартное. Может, автор определил его как-нибудь по-другому. Иначе, действительно, получается противоречие при дополнительном условии, что решение единственно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2009, 21:06 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
Вроде стандартное. Единственность тоже доказывается. Бардак. Написал автору - молчит :( А как мне теперь диплом писать? :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group