2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Позитив
Сообщение15.04.2009, 02:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Пусть $a_{i,j}>0$ ($1\le i,j\le n$). Докажите, что система уравнений
$\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j=\frac1{x_i}$ ($1\le i\le n$)
имеет решение в положительных $x_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Позитив
Сообщение18.04.2009, 04:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
RIP писал(а):
Пусть $a_{i,j}>0$ ($1\le i,j\le n$). Докажите, что система уравнений
$\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j=\frac1{x_i}$ ($1\le i\le n$)
имеет решение в положительных $x_i$.

Масштабируем так, что $$a_{i,i}=1,$$ и обозначим
$$s_i=\sum_{j \ne i}a_{i,j}x_j$$

Тогда уравнения переписываются в виде
$$x_i=\frac{-s_i+\sqrt{s_i^2+4}}{2}$$
и можно применить теорему о неподвижной точке
(если, конечно, многомерный куб обладает свойством неподвижной точки)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2009, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
TOTAL в сообщении #205806 писал(а):
если, конечно, многомерный куб обладает свойством неподвижной точки

Обладает.

Аналогично получаем:
Пусть $f_i\colon([0;+\infty)^n\setminus\{\mathbf0\})\to(0;+\infty)$ --- непрерывные функции ($1\le i\le n$). Доказать, что при некотором $c>0$ система
$f_i(x_1,\ldots,x_n)=\frac c{x_i}$ ($1\le i\le n$)
имеет решение в позитивных $x_i$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group