2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение03.04.2009, 20:20 
Заслуженный участник


11/05/08
31268
Phoen1x в сообщении #201716 писал(а):
Я вообще так понял, что именно заданная на множестве топология определяет открытытые множества. Но с таким же успехом топология может определить и замкнутые.

Вы правильно поняли (да, собственно, все Вам тут так и говорили). К этому и сводится абстрактная топология. А если хочется чего-то более конкретного -- так к более конкретным пространствам и надо переходить. Скажем, к метрическим, где вполне конкретная топология индуцирована вполне конкретной метрикой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12937
А мне кажется, что отличие в том, что система открытых подмножеств должна быть замкнута относительно любого объединения и конечного пересечения, а система замкнутых наоборот- любого пересечения и конечного объединения

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 20:29 


02/02/09
17
Беларусь\Гомель-Минск
Хорошё... я разобрался с открытыми и замкнутыми... только вот с открытозамкнутыми осталось некоторое непонимание...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12937
Попробуйте объявите интервалы в $R$ замкнутыми множествами, а потом рассмотрите стягивающиеся к одной точе и их пересечение.

Добавлено спустя 1 минуту 45 секунд:

В топологическом пространстве только оно само и пустое множество являются одновременно открытыми и замкнутыми.. Просто по определению.

Слово только лишнее. Не знаю, откуда он взялось.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 20:35 
Заслуженный участник


11/05/08
31268
А если взять в качестве пространства, скажем, объединение двух непересекающихся интервалов?... (вообще двух пространств, в которых топология задаётся независимым образом)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 22:03 
Аватара пользователя


23/02/09
259
Не мучайте себя таким множеством как $R$ проще определите себе множество из 5-6 элементов постройте на ней топологию -разные топологии и все увидите :roll:

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

gris в сообщении #201727 писал(а):
В топологическом пространстве только оно само и пустое множество являются одновременно открытыми и замкнутыми.

не правда :roll:

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

такое ток в топологиях индуцированных метрикой наблюдаеться :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14926
Новомосковск
Лиля в сообщении #201770 писал(а):
такое ток в топологиях индуцированных метрикой наблюдаеться


Тоже неправда. Возьмите канторово совершенное множество. Или множество иррациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 22:10 
Аватара пользователя


23/02/09
259
Someone в сообщении #201773 писал(а):
Тоже неправда. Возьмите канторово совершенное множество. Или множество иррациональных чисел.

даже так :roll:

Добавлено спустя 2 минуты 5 секунд:

Someone в сообщении #201773 писал(а):
Или множество иррациональных чисел.

а какой метрикой в этом множестве индуцируеться топология? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14926
Новомосковск
Обычной. То есть, $\rho(x,y)=|x-y|$. Интервалы с рациональными концами будут открыто-замкнутыми.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2009, 22:26 
Аватара пользователя


23/02/09
259
Someone в сообщении #201775 писал(а):
Интервалы с рациональными концами будут открыто-замкнутыми.
вот даж так -вы правы :roll:

 Профиль  
                  
 
 Открытые и замкнутые множества
Сообщение04.04.2009, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Ваш вопрос очень хорош. Ответ надо искать там, где ноги растут. А ноги растут в множестве вещественных чисел. Вот основные свойства открытых множеств на числовой прямой.

Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.
Пересечение конечной совокупности открытых множеств открыто.
Непустое множество открыто тогда и только тогда, когда каждая его точка внутренняя.

(Точка множества называется внутренней, если она входит в это множество вместе с некоторым открытым интервалом.)

Это то место, откуда растет топология. В общем случае только пустое множество не имеет внутренних точек и по определению считается открытым. А вот замкнутое множество – дополнение до открытого. И тут как придется: в несвязном пространстве может оказаться и одновременно открытым (представьте себе два непересекающихся круга без окружностей: каждый круг открыто-замкнутое множество). Но в общем случае если открытое множество характеризуется типом точек из которых оно состоит, то замкнутое множество может состоять из любых типов точек, но у него не должно быть граничных точек, ему не принадлежащих. Поскольку в множестве, лежащем в топологическом пространстве, может быть только два типа точек  внутренние и граничные, то в замкнутом множестве, как и в любом другом, может быть несколько возможных комбинаций внутренних и граничных точек. Итак, возможны следующие варианты замкнутых множеств:

- замкнутое множество, состоящее только из граничных точек;
- замкнутое множество, состоящее только из внутренних точек (в этом случае оно одновременно и открыто)
- пустое множество (одновременно оно и открыто);
- общий случай – множество состоит из внутренних и граничных точек.

[Точка называется граничной точкой множества М, если каждая ее открытая окрестность содержит как точки данного множества М, так и точки его дополнения CM.]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:49 
Заслуженный участник


11/05/08
31268
Someone писал(а):
Обычной. То есть, $\rho(x,y)=|x-y|$. Интервалы с рациональными концами будут открыто-замкнутыми.

Иррациональными.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 17:33 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Phoen1x в сообщении #201716 писал(а):
я не встречал конкретного определения для открытого множества
Это нормальная ситуация. Скажем, где вы видели определение вектора? Определяется понятие "векторного пространства", а его элементы начинают для краткости называть векторами. То же самое и здесь: вводится понятие "топологии" (семейства множеств, удовлетворяющего таким-то требованиям), а множества, принадлежащие топологии, начинают называть открытыми.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14926
Новомосковск
ewert в сообщении #202045 писал(а):
Иррациональными.


Вы неправильно прочли.

Someone в сообщении #201773 писал(а):
множество иррациональных чисел

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 23:08 
Заслуженный участник


11/05/08
31268
Someone в сообщении #202361 писал(а):
Вы неправильно прочли.

Да, неправильно прочёл. Но моя версия всё равно лучше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group