2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18  След.
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение06.06.2017, 23:11 


13/02/17

317
Varanasi
g______d в сообщении #1222708 писал(а):
Она не на немецком, а на французском, можно посмотреть здесь:


Спасибо, но с французским как-то совсем не весело, а вопросы всё гложут:

Aether в сообщении #1222631 писал(а):
В ГР рассматривается функция Мертенса, а Дербишир каким-то образом сводит ГР к равенству вероятности взятого наугад числа быть "орлом" или "решекой", что мне кажется неверным. Или я чего-то не понимаю? Как он совершает этот переход?

И насчёт того, что во времена Якоба Бернулли было известно, что величина избытка в среднем равна $ N^{\frac{1}{2}}$ - так ли это?
Т.е. что на миллион испытаний честной монеты отклонение в среднем составит тысячу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.06.2017, 12:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5293
Москва
1. Это не доказательство гипотезы Римана, а соображения относительно того, чем могла руководствоваться интуиция Римана. А именно тем, что нет оснований предпочитать числа с нечётным количеством делителей числам с чётным и наоборот, и, исходя из отсутствия предпочтения, можно ожидать, что наудачу выбранное число имеет равную вероятность для чётного и нечётного числа делителей. То есть это не доказательство на основе теории вероятностей, а некая "информация к размышлению", позволяющая сформулировать гипотезу, но не доказать её.
2. Количество успехов при бросании монеты будет иметь биномиальное распределение со средним $\frac N 2$ и дисперсией $\frac N 4$, то есть при миллионе бросков дисперсия будет 250000, а стандартное отклонение 500. В зависимости от выбранного нами коэффициента для "границы случайных отклонений" (две сигмы, три сигмы, пять сигм...) максимальное ожидаемое отклонение будет принято 1000, 1500, 2500 и т.п. Для отклонения от среднего в 50000, равного или превышающего 1000, вероятность такого около 5%.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.06.2017, 12:39 


13/02/17

317
Varanasi
Евгений Машеров в сообщении #1222880 писал(а):
1. Это не доказательство гипотезы Римана, а соображения относительно того, чем могла руководствоваться интуиция Римана. А именно тем, что нет оснований предпочитать числа с нечётным количеством делителей числам с чётным и наоборот, и, исходя из отсутствия предпочтения, можно ожидать, что наудачу выбранное число имеет равную вероятность для чётного и нечётного числа делителей. То есть это не доказательство на основе теории вероятностей, а некая "информация к размышлению", позволяющая сформулировать гипотезу, но не доказать её.


Да, это общеизвестно, что гипотеза Римана не доказана, вопрос в том как Дербишир установил эквивалентность формулировок, как из "информации к размышлению" следует сама гипотеза.

Евгений Машеров в сообщении #1222880 писал(а):
2. Количество успехов при бросании монеты будет иметь биномиальное распределение со средним $\frac N 2$ и дисперсией $\frac N 4$, то есть при миллионе бросков дисперсия будет 250000, а стандартное отклонение 500. В зависимости от выбранного нами коэффициента для "границы случайных отклонений" (две сигмы, три сигмы, пять сигм...) максимальное ожидаемое отклонение будет принято 1000, 1500, 2500 и т.п. Для отклонения от среднего в 50000, равного или превышающего 1000, вероятность такого около 5%.


Вот, нашел выкладки уважаемого Someone, это не про стандартное отклонение?

Someone в сообщении #1123837 писал(а):
Обозначим $S_n$ количество выпадений герба при $n\geqslant 1$ бросаниях правильной монеты. Это — случайная величина, имеющая биномиальное распределение с вероятностью успеха $p=\frac 12$: $$\mathbf{P}(S_n=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}=\frac{C_n^k}{2^n}.\eqno(1)$$ Если $S_n$ — число выпавших гербов, то число выпавших решек равно $n-S_n$, а разность между ними равна $X_n=2S_n-n$. Среднее значение, то есть, математическое ожидание величины $X_n$, в силу очевидной симметрии равно $0$, но речь, очевидно, идёт о среднем значении $\lvert X_n\rvert$: $$\mathbf{M}\lvert X_n\rvert=\sum_{k=0}^n\lvert 2k-n\rvert\frac{C_n^k}{2^n}=\frac 1{2^{n-1}}\sum_{k=0}^{\left[\frac{n-1}2\right]}(n-2k)C_n^k,\eqno(2)$$ где квадратные скобки обозначают целую часть числа.
Упрощение этого выражения с помощью Wolfram Mathematica даёт:
при нечётном $n=2m-1$$$\mathbf{M}\lvert X_{2m-1}\rvert=\frac m{2^{2m-2}}C_{2m-1}^m,\eqno(3)$$ а при чётном $n=2m$$$\mathbf{M}\lvert X_{2m}\rvert=\frac m{2^{2m-1}}C_{2m}^m.\eqno(4)$$ Выразив биномиальные коэффициенты $C_{2m-1}^m$ и $C_{2m}^m$ через факториалы, легко убедиться, что $C_{2m-1}^m=\frac 12C_{2m}^m$, поэтому $$\mathbf{M}\lvert X_{2m-1}\rvert=\mathbf{M}\lvert X_{2m}\rvert=\frac m{2^{2m-1}}C_{2m}^m.\eqno(5)$$ Поскольку в обоих случаях $m=\left[\frac{n+1}2\right]$, результат можно записать также в виде $$\mathbf{M}\lvert X_n\rvert=\frac 1{2^{n-1}}\left[\frac{n+1}2\right]C_n^{\left[\frac{n+1}2\right]}.\eqno(6)$$ Асимптотику при $n\to\infty$ легко найти, выразив биномиальный коэффициент $C_{2m}^m$ через факториалы и воспользовавшись формулой Стирлинга. Результат выглядит так: $$\mathbf{M}\lvert X_{2m-1}\rvert=\mathbf{M}\lvert X_{2m}\rvert\sim 2\sqrt{\frac m{\pi}},\eqno(7)$$ или, выразив $m$ через $n$, $$\mathbf{M}\lvert X_n\rvert\sim\sqrt{\frac 4{\pi}\left[\frac{n+1}2\right]}.\eqno(8)$$

Формулы (6) и (8) для $n=10^6$ дают, соответственно, $\mathbf{M}\lvert X_{10^6}\rvert\approx 797{,}884$ и $\mathbf{M}\lvert X_{10^6}\rvert\approx 797{,}885$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.06.2017, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14493
Новомосковск
Aether в сообщении #1222896 писал(а):
это не про стандартное отклонение?
Нет. Стандартное отклонение для биномиального распределения — это $\sigma X=\sqrt{\mathbf{D}X}=\sqrt{np(1-p)}$. Подробности — в учебнике по теории вероятностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.06.2017, 13:07 


13/02/17

317
Varanasi
Someone в сообщении #1222904 писал(а):
Нет. Стандартное отклонение для биномиального распределения — это $\sigma X=\sqrt{\mathbf{D}X}=\sqrt{np(1-p)}$.


Как тогда правильно назвать величину, полученную в Ваших выкладках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.06.2017, 13:36 


23/02/12
1517
Aether в сообщении #1222631 писал(а):
И насчёт того, что во времена Якоба Бернулли было известно, что величина избытка в среднем равна $ N^{\frac{1}{2}}$ - так ли это?

Someone в сообщении #1222904 писал(а):
Aether в сообщении #1222896 писал(а):
это не про стандартное отклонение?
Нет. Стандартное отклонение для биномиального распределения — это $\sigma X=\sqrt{\mathbf{D}X}=\sqrt{np(1-p)}$. Подробности — в учебнике по теории вероятностей.

Хотел об этом написать, но меня опередили. Из формулы для стандартного отклонения для биномиального распределения как раз следует ответ на ваш вопрос $\sigma X=\sqrt{\mathbf{D}X}=\sqrt{np(1-p)}=O(n^{1/2})$. Бернулли, как раз открыл биномиальный закон распределения для независимых испытаний, которые назвали его именем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.06.2017, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14493
Новомосковск
Aether в сообщении #1222906 писал(а):
Как тогда правильно назвать величину, полученную в Ваших выкладках?
Поскольку $\mathbf{M}S_n=\frac n2$ и $X_n=2S_n-n$, то $|X_n|=2|S_n-\mathbf{M}S_n|$ есть удвоенное абсолютное отклонение $S_n$ (от $\mathbf{M}S_n$), а $\mathbf{M}|X_n|$ — удвоенное среднее абсолютное отклонение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.06.2017, 17:33 


13/02/17

317
Varanasi
Someone, vicvolf

Спасибо.

Ещё непонятно как сюда приплести функцию Мертенса. Т.е. гипотеза Римана заключается в том, что функция Мертенса (эквивалентна, ведет себя также, возрастает не быстрее, пропорциональна, стремится к) этому самомому удвоенному среднему абсолютному отклонению для правильной монеты? В каком отношении находится функция Мертенса к удвоенному среднему абсолютному отклонению согласно гипотезе Римана?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.06.2017, 19:29 


13/05/14
238
g______d
g______d в сообщении #1222708 писал(а):
(и это скорее не статья, а то ли заметка, то ли письмо в редакцию).

Скорее это письмо в редакцию, потому, что она стоит в разделе с заголовком CORRESPONDANCE
(то есть ПЕРЕПИСКА)

(Оффтоп)

Вообще, интересную вещь Вы "раскопали".... Заголовок Comptes rendus de l'académie des sciences -- это Отчеты академии наук (французской, разумеется).
А Вы нашли это в Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie... то есть в Отчетах заседаний Академии наук.
Интересно как Вам это удалось? :!:
Но к сожалению там не текст, а ксерокопия. И хотя французский мне ближе, чем английский, переводить с картинки рука не поднимается. Да и зачем?
P.S. Рад встретить на форуме знатока француского

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.06.2017, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4278
sqribner48 в сообщении #1223054 писал(а):
Заголовок Comptes rendus de l'académie des sciences -- это Отчеты академии наук (французской, разумеется).
А Вы нашли это в Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie... то есть в Отчетах заседаний Академии наук.


Это один и тот же журнал

https://en.wikipedia.org/wiki/Comptes_rendus

Цитата:
Comptes rendus was initially established in 1835 as Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences.


(Оффтоп)

sqribner48 в сообщении #1223054 писал(а):
P.S. Рад встретить на форуме знатока француского


Французского я не знаю, но найти было не так сложно. Если набрать в гугле "Denjoy probablilistic argument", то вторым результатом будет книга Steuding, "Value-distribution of $L$-functions", в которой есть раздел про этот аргумент со ссылкой на работу Данжуа. В mathscinet этой работы нет, но в Zentrablatt она есть (опять же, выскакивает при поиске названия статьи). Там есть название журнала (C. R. -- Comptes Rendus), год и страница. Журнал достаточно известный, про него есть статья в википедии (см. ссылку выше), в которой есть линк на сканы всех номеров.

Умеючи, весь процесс поиска занимает минут 5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.06.2017, 23:35 


13/05/14
238
g______d
Большое спасибо.

(Оффтоп)

Вашу методику поиска приму для себя к сведению.
Правда допуска у меня к mathscinet нет и это сильно затрудняет поиск.
Wiki я смотрел сразу же после прочтения Вашего первого сообщения.
Понял что с 1835 года журнал получил другое название.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение13.06.2017, 17:01 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
 i  Оффтоп отделен в «Невероятная вероятность»

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение20.07.2017, 14:39 


24/03/09
211
Минск
А может ли такое быть, что вот, с нынешней системой аксиом во всей математике,
ГР верна но недоказуема? (если она неверна, то "неверность" точно может быть, доказана - достаточно найти контрпример).
Но наоборот, если верна, то может и не существовать в принципе в природе доказательства (а перебрать все нули тоже не представляется
возможным, т.к. их бесконечное количество).

Тогда возможно ли, введение какой то принципиально новой аксиомы в математику, к примеру для того чтобы ее доказать?
Или математика уже настолько хорошо изучена, что новые аксиомы никогда вводиться не будут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение20.07.2017, 16:16 
Аватара пользователя


21/09/12
1142
Skipper в сообщении #1234851 писал(а):
Тогда возможно ли, введение какой то принципиально новой аксиомы в математику, к примеру для того чтобы ее доказать?

Теорема Гёделя о неполноте говорит, что недоказуемые формулы будут при любой системе аксиом.
И если ГР не доказывается столько времени, то, возможно, она к этому классу относится.
Вводить новую аксиому, чтобы доказать ТГ, никто не будет. А будут веские основания, ведут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение20.07.2017, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4734
atlakatl в сообщении #1234869 писал(а):
Теорема Гёделя о неполноте говорит, что недоказуемые формулы будут при любой системе аксиом.
В (достаточно богатой) формальной теории с перечислимым множеством аксиом - да. О неформальных теориях ни одна теорема Гёделя ничего не сообщает. Over 99% современной математики не формализовано. Доказательство гипотезы Римана ищут неформальное. То, что доказательство долго не удается найти - слабый аргумент за то, что его не существует (доказательство теоремы Ферма-то сколько искали, а?).
Не путайтесь сами и не путайте человека.

-- 20.07.2017, 18:03 --

Skipper в сообщении #1234851 писал(а):
А может ли такое быть, что вот, с нынешней системой аксиом во всей математике, ГР верна но недоказуема?
У "всей математики" нет единой системы аксиом. Есть много разных аксиоматик той же теории множеств.
Исторически первой аксиоматикой теории множеств стала аксиоматика Цермело-Френкеля (ZF). Впоследствии было доказано, что т.н. "аксиому выбора" невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ZF. Соответственно, можно получить три разных аксиоматики - собственно ZF, ZF с аксиомой выбора (ZFC) и ZF с отрицанием аксиомы выбора. Так что исторически случаи расширения аксиоматики известны.

Есть консенсус, что почти всю существующую математику можно формализовать в теории множеств с аксиомами Цермело-Френкеля и аксиомой выбора (ZFC), но де-факто этим никто не занимается (доказательства обычно вообще не формализуют, а если формализуют, то более удобными средствами, чем ZFC). Теоретически можно допустить, что когда-нибудь будет доказано: гипотезу Римана невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ZFC. Тогда, кроме ZFC, можно будет рассмотреть две новые теории: ZFC с аксиомой Римана (ZFCR) и ZFC с ее отрицанием. Собственно, их можно рассмотреть и сейчас, но, если гипотеза Римана доказуема / опровержима в ZFC, одна из этих теорий окажется противоречивой.

Но, естественно, никто не будет вводить аксиому "гипотеза Римана верна" только для того, чтобы из нее в один ход доказать (ссылкой на аксиому), что гипотеза Римана верна. Это сделают, только если у этой аксиомы будет много других интересных следствий.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 269 ]  На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group