2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 
Сообщение12.05.2006, 08:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
В последней строке знак суммы потерян. А так, вроде, правильно, если интегралы от бесселей правильно сосчитаны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 21:45 
Аватара пользователя


24/10/05
400
спасибо большое за подсказки :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.05.2006, 16:41 
Аватара пользователя


24/10/05
400
у меня последний вопрос.
Нужно доказать дормулу для квадрата нормы собственных функций Бесселя, для котрых
$$
J_0^{'} \left( {\xi _ m} \right) = 0
докво.
Пусть
$$
F_1 \left( r \right) = J_0 \left( {\alpha _1 r} \right),\alpha _1  = \frac{{\xi _m }}
{R}
$$
$$
F_2 \left( r \right) = J_0 \left( {\alpha _2 r} \right),\alpha _2  - 
$$
произвольный параметр. Функции
$$
F_1 \left( r \right),F_2 \left( r \right)
$$удовлетворяют уравнениям
$$
\frac{d}
{{dr}}\left( {r\frac{{dF_1 }}
{{dr}}} \right) + \alpha _1^2 rF_1  = 0
$$
$$
\frac{d}
{{dr}}\left( {r\frac{{dF_2 }}
{{dr}}} \right) + \alpha _2^2 rF_2  = 0
$$
причем
$$
F_1^{'} \left( R \right) = 0,F_2 \left( R \right) \ne 0
$$
$$
\eqalign{
  & J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right) = 0,J_0^{'} \left( {\alpha _2 R} \right) \ne 0,  \cr 
  & J_0^{'} \left( {\xi _1 } \right) = 0,J_0^{'} \left( {\xi _2 } \right) \ne 0 \cr} 
$$

$$
\frac{d}
{{dr}}\left( {r\frac{{dF_1 }}
{{dr}}} \right)F_2  + \alpha _1^2 rF_1 F_2  - \frac{d}
{{dr}}\left( {r\frac{{dF_2 }}
{{dr}}} \right)F_1  + \alpha _2^2 rF_1 F_2  = 0\quad 
$$
$$
\left. {\left[ {r\left( {F_1^' F_2  - F_2^' F_1 } \right)} \right]} \right|_0^R  + \left( {\alpha _1^2  - \alpha _2^2 } \right)\int\limits_0^R {rF_1 F_2 dr}  = 0
$$
$$
\int\limits_0^R {rF_1 F_2 dr}  = \frac{1}
{{\left( {\alpha _2^2  - \alpha _1^2 } \right)}}R\left( {\alpha _1 J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right)J_0 \left( {\alpha _2 R} \right) - \alpha _2 J_0^{'} \left( {\alpha _2 R} \right)J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right)
$$

$$
 = \frac{{ - 1}}
{{\left( {\alpha _2^2  - \alpha _1^2 } \right)}}R\left( {\alpha _2 J_0^{'} \left( {\alpha _2 R} \right)J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right)
$$

$$
\int\limits_0^R {rF_1 F_2 dr}  = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2  \to \alpha _1 } \frac{{R\left[ {J_0 (\alpha _2 R)\alpha _1 J_0^{'} (\alpha _1 R) - J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 J_0^{'} (\alpha _2 R)} \right]}}
{{\alpha _2^2  - \alpha _1^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2  \to \alpha _1 }  - \frac{R}
{{\alpha _2^2  - \alpha _1^2 }}J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 J_0^{'} (\alpha _2 R)
$$
раскрывая неопределенность
$$
 = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2  \to \alpha _1 }  - \frac{R}
{{\alpha _2^2  - \alpha _1^2 }}J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 J_0^{'} (\alpha _2 R) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2  \to \alpha _1 }  - \frac{R}
{{2\alpha _2 }}\left( {J_0 (\alpha _1 R)J_0^{'} (\alpha _2 R) + J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 RJ_0^{''} (\alpha _2 R)} \right)
$$
$$
 =  - \frac{R}
{{2\alpha _1 }}\left( {J_0 (\alpha _1 R)J_0^{'} (\alpha _1 R) + J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 RJ_0^{''} (\alpha _1 R)} \right) =  - \frac{R}
{{2\alpha _1 }}J_0 (\alpha _1 R)\alpha _1 RJ_0^{''} (\alpha _1 R) =  - \frac{{R^2 }}
{2}J_0 (\alpha _1 R)J_0^{''} (\alpha _1 R)
$$


дальше пробую применить формулу
$$
F^{''}  - \frac{1}
{r}F^'  = \alpha _1 F
$$
в нашем случае
$$
J_0 ^{''} \left( {\alpha _1 R} \right) - \frac{1}
{R}J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right) = \alpha _1 J\left( {\alpha _1 R} \right)
$$

продолжаем равенство
$$
 =  - \frac{{R^2 }}
{2}J_0 (\alpha _1 R)\left( { - \frac{1}
{R}J_0^' \left( {\alpha _1 R} \right) + \alpha _1 J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right) =  - \frac{{R^2 }}
{2}\alpha _1 \left[ {J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right]^2 
$$
А в моем случае должно получится вот такое

$$
\int\limits_0^R {J_0^2 } \left( {\alpha _1 r} \right)rdr = \frac{{R^2 }}
{2}\left[ {J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right]^2 
$$
$$
\int\limits_0^R {J_0^2 } \left( {\frac{{\xi _m }}
{R}r} \right)rdr = \frac{{R^2 }}
{2}\left[ {J_0 \left( {\xi _m } \right)} \right]^2 
$$
помогите найти ошибку!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 78 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group