Вопрос о делимости чисел: p^5-p делится на 5

[ahropak]

Такой вопрос: как элегантней доказать, что

\[p^5 - p\]

делится на 5 при любом натуральном значении p? Можно, конечно, взять калькулятор в попытке отыскать некую закономерность и возводить числа в пятую степень. И закономерность действительно есть - любое p в пятой степени минус самое себя даст число, оканчивающееся нулём, что и будет его признаком делимости на пять. Но, думаю, не совсем уместно использовать такой аргумент в доказательстве, поэтому хотелось бы отыскать что-либо по-элегантней. Сердечно благодарю.

[незваный гость]

Сие есть малая теорема Ферма -- для любого $a$, не делящегося на простое $p$ (в нашем случае 5) $a^{p-1}-1$ делится на p. Соответсвенно, умножение на $a$ не ухудшает этот факт, и лхватывает случай когда $a$ делится на $p$. Итого, $a^{p}-a$ делится на $p$ всегда.

[ahropak]

Да, действительно, изящно доказано.
А если предположить, что нам неизвестна малая теорема Ферма. Как доказать, исходя только из свойств самих чисел?

[незваный гость]

По модулю 5 есть всего 5 остатков. Проверить их.

Доказать малую теорему Ферма -- тоже не фокус.

Можно подумать, как доказать в лоб... Ну, например $p^5-p = $ $p(p-1)(p+1)(p-2)(p+2) + 5p(p^2-1)$. Первое слагаемое делится на 5, поскольку это 5 подряд идущих чисел, второе -- тоже.

[ahropak]

Незванный гость, благодарствую за доказательво в лоб. Оно себя оправдывает.