2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ограничение на параметр в неравенстве
Сообщение13.02.2009, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
На практике возникла такая задача.
Некто измеряет величину $\frac{a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1}}{a_2+a_4+a_6+...+a_{2n}}$. Мне доступны только величины $e_1=\frac{a_1}{a_2},e_2=\frac{a_3}{a_4},e_3=\frac{a_5}{a_6},...,e_n=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}$.
$\forall i: e_i$ - правильная дробь из положительных действительных чисел в качестве числителя и знаменателя.
Как, зная только доступные мне величины, подобрать такое наибольшее $k$, чтобы
$k\cdot  ( e_1+e_2+e_3+...+e_n)\leq \frac{a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1}}{a_2+a_4+a_6+...+a_{2n}}$
Мои попытки: легко понять, что
$1+\sum\limits_{i\not = j,\\i=1,\\j=1}^{n}\frac{e_i}{e_j}\leq \frac{1}{k}$
Но можно ли точнее? Например, подобрать такое $d<n$, что $\frac{1}{k}\geq 1+\frac{1}{d}\cdot\sum\limits_{i\not = j,\\i=1,\\j=1}^{n}\frac{e_i}{e_j}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограничение на параметр в неравенстве
Сообщение14.02.2009, 01:30 


12/02/09
50
Если интерпретировать $e_1,e_2,e_3,...,e_n$ как координаты точек на прямой, а $a_2,a_4,a_6,...,a_{2n}$ массы этих точек, то $\frac{a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1}}{a_2+a_4+a_6+...+a_{2n}}$ центр масс системы этих точек. В худшем для k случае масса точки с минимальной координатой несоизмеримо больше суммы масс всех остальных точек, тогда центр масс практически находится в этой точке. Следовательно,
$\frac{\min(e_1,e_2,e_3,...,e_n)}{ e_1+e_2+e_3+...+e_n} $ наилучшая оценка для k с сохранением требуемого неравенства.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2009, 10:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Спасибо за ответ.
Если бы это была математическая задача, я был бы вполне удовлетворен.
Но моя задача - как зная $e_1,e_2,...e_n$ оценить, по-Вашему, координату центра масс. А в большинстве практических случаев $min(e_1,e_2,...e_n)$ существенно меньше центра масс.
Поэтому и ставилась задача найти такое $d=f(e_1,e_2,...,e_n)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2009, 15:24 


12/02/09
50
Интерпретация в данном случае лишь способ решения. Если необходимо подобрать такое наибольшее $k$, чтобы заведомо выполнялось $k\cdot  ( e_1+e_2+e_3+...+e_n)\leq \frac{a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1}}{a_2+a_4+a_6+...+a_{2n}}$, то $\frac{\min(e_1,e_2,e_3,...,e_n)}{e_1+e_2+e_3+...+e_n}$ наилучшая оценка для $k$. Иначе нельзя гарантировать выполнение неравенства. Если $k$ взять большим чем $\frac{\min(e_1,e_2,e_3,...,e_n)}{e_1+e_2+e_3+...+e_n}$, то всегда можно подобрать $a_k:\ \ e_1=\frac{a_1}{a_2},e_2=\frac{a_3}{a_4},e_3=\frac{a_5}{a_6},...,e_n=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}$ так чтобы $k\cdot  ( e_1+e_2+e_3+...+e_n)> \frac{a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1}}{a_2+a_4+a_6+...+a_{2n}}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2009, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Я согласен с Вами, можно зафиксировать $e_1,e_2...,e_n$ и варьируя $a_i$ перескочить через любое наперед заданное значение для правой части неравенства. Так что информации о $e_1,e_2,...,e_n$ оказывается недостаточно, чтобы получить более точную оценку.
Только мне для практической задачи такая оценка не подходит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group