2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересная тернарная операция
Сообщение08.02.2009, 13:11 


07/09/07
463
Операция, которая не является последовательным выполнением двух бинарных операций.

1. Если пишем $f(x,y,z)=x*y*z$, то это означает возможность сначала выполнить $x*y$ а потом $(x*y)*z$. То есть, имеем две бинарных операции одна за другой. Тем не менее, $f$ называется тернарной.

2. Но вот другая конструкция. Пусть имеем три вектора одинаковой размерности $a,b,c$. Введем операцию "тернарного скалярного произведения" $T(a,b,c)=a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+...+a_nb_nc_n$. Как видим, её невозможно выполнить в два этапа, как в первом случае.

Как вам, есть ли существенная разница и дает ли это что-нибудь?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2009, 16:21 
Экс-модератор


17/06/06
5004
STilda в сообщении #184675 писал(а):
Как видим, её невозможно выполнить в два этапа, как в первом случае.
Я лично не вижу. Доказать сможете? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2009, 16:46 


12/09/08

2262
Ничего особенного.
$T(a,b,c) = G(F(a,b), c)$
где
$F(a,b) = (a_1b_1, \ldots,  a_nb_n)$
$G(d, c) = d_1c_1+\ldots+d_nc_n$

Вообще, любую функцию $X:M_1\times M_2\times M_3 \to N$ можно представить в виде суперпозиции:
$Y:M_1\times M_2 \to M'$ и $Z:M'\times M_3 \to N$, даже если и не в явном виде, то в виде $M'$ — множество функций из $M_3$ в $N$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2009, 18:01 


07/09/07
463
С вздымщик Цыпа не спорю. Только замечаю разницу. $F$ и $G$ получились совсем разные по своей природе. Операция $F$ фактически выводит нас в пространство функций. В то время, как в случае бинарного умножения все впередлах пространства и два раза применяем одинаковую функцию.
Можно попробовать ограничить условия так. Если $a,b,c$ из одного пространства $M$ тогда не существует двух бинарных операций $B_1,B_2:M\times M\to N$, которыми можно было бы заменить операцию $T:M\times M\times M \to N$. Только это очевидно. :D . Согласно примеру вздымщик Цыпа нам потребуется $F:M\times M\to M$ и $G:M\times M\to N$

Тогда вопрос, любую ли $T':M\times M\times M \to M$ можно представить в виде композиции двух $B'_1,B'_2:M\times M\to M$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2009, 18:38 


12/09/08

2262
STilda в сообщении #184799 писал(а):
Если $a,b,c$ из одного пространства $M$ тогда не существует двух бинарных операций $B_1,B_2:M\times M\to N$, которыми можно было бы заменить операцию $T:M\times M\times M \to N$. Только это очевидно.
Это очевидно хотя бы потому, что вторую функцию не к чему применить.
STilda в сообщении #184799 писал(а):
Тогда вопрос, любую ли $T':M\times M\times M \to M$ можно представить в виде композиции двух $B'_1,B'_2:M\times M\to M$?
Если $|M| = |M\times M|$ (что вроде бы верно для всех бесконечных множеств), $\varphi: M \times M\to M$ — взаимно однозначная функция и $(\psi_1, \psi_2)$ — обратная к ней пара функций: $\varphi(\psi_1(x), \psi_2(x)) = x$. То определим $f(x,y) = T(\psi_1(x), \psi_2(x), y)$. Тогда $T(x,y,z) = f(\varphi(x,y),z)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2009, 21:17 


07/09/07
463
Хорошо. Продолжаю философствовать.

Рассмотрим пространство обычных трехмерных векторов с действительными коэффициентами. Возьмем геометрическую сторону.
1. Скалярное произведение двух единичных векторов задает угол между ними. Когда скалярное произведение равно нулю, это соответствует перпендикулярным векторам и мы представляем как выглядят два перпендикулярных отрезка.
2. Теперь возьмем три единичных вектора. Как интерпретировать тернарное скалярное произведение $T$? Как выглядят тройки отрезков, которые дают нулевое тернарное произведение?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2009, 09:41 
Экс-модератор


17/06/06
5004
вздымщик Цыпа писал(а):
Если $|M| = |M\times M|$ (что вроде бы верно для всех бесконечных множеств), $\varphi: M \times M\to M$ — взаимно однозначная функция и $(\psi_1, \psi_2)$ — обратная к ней пара функций: $\varphi(\psi_1(x), \psi_2(x)) = x$. То определим $f(x,y) = T(\psi_1(x), \psi_2(x), y)$. Тогда $T(x,y,z) = f(\varphi(x,y),z)$.
А давайте теперь такую задачку решим. Существует ли $B:M\times M\to M$, что $T(x,y,z)\equiv B(x,B(y,z))$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2009, 14:12 


12/09/08

2262
AD в сообщении #185021 писал(а):
А давайте теперь такую задачку решим. Существует ли $B:M\times M\to M$, что $T(x,y,z)\equiv B(x,B(y,z))$?
Эт врядли. Можно рассмотреть $T(x,y,z)$, не зависящую от одного из аргументов, но при этом с «достаточно богатым» множеством значений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.02.2009, 01:54 


01/08/08
20
STilda в сообщении #184917 писал(а):
2. Теперь возьмем три единичных вектора. Как интерпретировать тернарное скалярное произведение ?


Никак. Ваше тернарное произведение не инвариантно по отношению к вращениям.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2009, 21:01 


07/09/07
463
Да, Хорошее наблюдение.

А вот нашел в непрерывном случае получаем, что $\int\limits_{0}^{2\pi} {sin(x+a)sin(x+b)sin(x+c)} dx=0$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.03.2009, 09:24 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Вот задачка совершенно в тему.

Имеются углы $A$, $B$ и $C$, например углы треугольника, попарные суммы которых известны:

$A*B = L$, $B*C = M$ и $C*A = N$.

Требуется определить сумму $A*B*C$ как функцию $L$, $M$ и $N$, если суммируются углы "релятивистски":

$tg(X*Y) = \frac{tg X + tg Y}{1 + tg X tg Y}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.03.2009, 10:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
STilda писал(а):
Хорошо. Продолжаю философствовать.

Рассмотрим пространство обычных трехмерных векторов с действительными коэффициентами. Возьмем геометрическую сторону.
1. Скалярное произведение двух единичных векторов задает угол между ними. Когда скалярное произведение равно нулю, это соответствует перпендикулярным векторам и мы представляем как выглядят два перпендикулярных отрезка.
2. Теперь возьмем три единичных вектора. Как интерпретировать тернарное скалярное произведение $T$? Как выглядят тройки отрезков, которые дают нулевое тернарное произведение?

В физике сейчас используются тернарные и квадрипольные скалярные произведения с метрическими тензорами $g_{ijk},g_{ijkl}$ со скалярными произведениями $g_{ijk}x^iy^jz^k$ и $g_{ijkl}x^iy^jz^ku^l$ (считается что по одинаковым индексам производится суммирование). Есть институт гиперкомплексных систем, где считают такие метрические тензоры для описания пространства-времени более естественными, чем Римановы метрические тензоры $g_{ij}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group