Вариационное исчисление

[Susel]

Помогите решить классическую задачу вариационного исчисления:

$$\int_{0}^{1} (\dot x^2+x^2+4x\ch t)dt \to extr$$ $$x(0)=1, x(1)=0$$ $$L=\dot x^2+x^2+4x\ch t$$ $$ L_x =2x+4\ch t $$ $$ L_{\dot x} =2\dot x $$

Уравнение Эйлера:

$$2x+4\ch t -2\ddot x = 0$$ $$-\ddot x+x+2\ch t=0$$ $$r^2 = 1$$ $$r=\pm1$$ $$x=C_1e^t +C_2e^{-t} = \tilde C_1 \ch t+ \tilde C_2 \sh t$$

[AD]

Что именно не получается? Уравнение Эйлера составили? Решили?

У Вас тут квадратичный функционал, так что исследование на экстремальность не должно быть проблемой.

upd: автор уже что-то дописал, поэтому вопросы в основном снимаю.

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

(наведите порядок с обозначениями и напишите свои попытки решения)

[PAV]

Тема возвращена

[мат-ламер]

Осталось определить константы, исходя из граничных условий, и доказать, что получили то, что искали.

[ShMaxG]

Он остановился на том, что нашел общее решение однородного уравнения, а нужно - общее решение неоднородного. Затем уже да, определить константы.

[Susel]

Собственно, осталось решить интеграл, но их давно не решал и не могу понять как два последних слагаемых проинтегрировать:

$$\int_{0}^{1} (5+6 \sh ^2 t+8\sh t \ch t (t-\frac 9 4 )+(t-\frac 9 4 )^2 (1+2 \sh ^2 t))dt $$

[V.V.]

Распишите щеканс и кощеканс через экспоненты и по частям его, по частям!

[ewert]

$2\,\sh t\,\ch t=\sh2t$

$1+\sh^2t=\ch2t$