тервер - моменты ф-ции от нормальных с.в.

[buker]

добрый день!
возникла трудность при решении следующей задачи:

необходимо определить моменты с.в., которая представляет собой аддитивно-мультипликативную ф-цию от нормальных с.в.
полученная с.в. имеет вид

$$\frac{a_1 a_2+a_3a_4}{a_5a_6+a_7a_8}$$

причем каждая из с.в. $a_s$,$s=1...8$ представляется в виде

$$\sum\limits_{i_s=1}^{N} e_{i_s}f_{j_s}$$

, где

$$e_{i_s}$$

,

$$f_{j_s}$$

являются нормальными с.в. (не независимыми) с некоторыми "нестандартными параметрами".

если бы в числителе и знаменателе стояли квадраты нормальных с.в., то была мысль определить сначала степени свободы для хи-квадрат числителя и знаменателя (тут тоже возникает трудность с тем, как определить степень свободы, поскольку в определении хи-квадрат фигурируют нормальные независимые с.в. со "стандартными параметрами". ), а потом, получив распределение фишера, найти моменты. Но мы имеем дело с 4-ми степенями.

спасибо за помощь и понимание.!

[PAV]

[mod]Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.[/mod]

(формулы)

[Jnrty]

Jnrty:

Возвращаю.

[мат-ламер]

Уточните, сколько моментов Вам нужно. Одно дело найти матожидание. И совсем другое дело найти формулу для старших моментов. Прикиньте матожидание знаменателя. Если оно равно нулю, то моменты могут и не существовать.

[buker]

прошу прощения, конечно надо было уточнить.
мне нужно найти матожидание и дисперсию. Точнее не само матожидание, а его равенство нулю. Необходимо для док-ва несмещенности оценки параметра.
А дисперсия нужна позже для доказательства (или опровержения) док-ва состоятельности.
Сейчас занимаюсь проверкой методом Монте-Карло, действительно ли это так, но скорее всего предположения верны.

[мат-ламер]

Вероятно, надо упростить постановку задачи, чтобы не завязнуть в вычислениях. Попробуйте доказать, что матожидание числителя равно нулю, пользуясь стандартными формулами о выражении матожидании произведения через матожидания сомножителей и коэффициент ковариации. Докажите, что матожидание знаменателя отлично от нуля. Вычислить точно дисперсию, вероятно, тоже будет сложно. Для доказательства состоятельности можно ограничиться доказательством, что дисперсия стремится к нулю при увеличении количества наблюдений. За Вас никто выкладки не сделает, не имея точной постановки задачи, да и в этом разеле форума это не приветствуется.

[buker]

спасибо за совет.
я уже пробовал именно так, как Вы и описали, но дело в том, что матожидание каждого сомножителя есть что-то типа

$$\sum\limits_\alpha{\sum\limits_\beta{\sum\limits_\gamma{f(\alpha,\beta,\gamma)}}$$

(правда $f$ достаточно простая), вычисление ковариации есть еще большая задача. Была мысль найти именно не напрямую вычисляя, а именно используя характеристики с.в. (будь то параметр нормального распределения, либо степень свободы для $\chi^2$) Таким образом вычисление видится пошаговым, где каждый шаг проще всей задачи вцелом.

[мат-ламер]

Может дело упростит то, что Вам нужно не вычислить матожидание, а лишь показать, что оно стремится к нулю при увеличении количества набллюдений? Тогда вместо непосредственного вычисления разумно воспользоваться какими-либо оценками.

[PAV]

Возможно, Вы найдете какую-то полезную информацию в книге Simon M. — Probability Distributions Involving Gaussian Random Variables. Там рассматриваются распределения, в которых участвуют нормальные с.в. в различных комбинациях, включая произведения и отношения, причем как независимые, так и зависимые.

[buker]

спасибо за советы и ссылку.
я уже пытался найти какие-нибудь оценки, но что-то тоже никак. Попробую порыться в книжке...

Добавлено спустя 47 минут 51 секунду:

PAV в сообщении #183510 писал(а):

Возможно, Вы найдете какую-то полезную информацию в книге

уважаемый PAV, а вы не могли бы пояснить каким именно образом скачать (или просмотреть) книгу, находящуюся в электронной библиотеке мехмата. Сайт сообщает, что "скачать книгу с нашего сайта нельзя", вот беда...

[buker]

p.s. нашел эту книгу в сети, так что, господа, если кому надо, то пишите

[buker]

привел выражение к виду

$$\frac{\sum\limits_{i,j}{\epsilon_{i+1}h_{j-1}g_{i,j}}}{\sum\limits_{i,j} { h_i h_{j-1} g_{i,j} }}$$

где $\epsilon_{i+1}$ - нормальная стандартная с.в., $h_j$ - гауссовский процесс авторегрессии,

$$g_{i,j} = \det \begin{pmatrix} h_{i-1} & h_{j-1} \\ h_i & h_j \end{pmatrix}$$

более того, смоделировал методом монте-карло и проверил пару критериев, и вышло что практически с любым уровнем доверия гипотеза о равенстве нулю матожидания искомой величины принимается.