2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Группа Галуа от f(x) = x^6 - 3x^3 + 2
Сообщение29.03.2006, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6534
Раскладываем на сомножители: $ f(x) = (x^3 - 1)(x^3 - 2)

Далее имеем корни: $(x^3 - 1) {\ }\sim {\ }1, {\ } \zeta_3, {\ } \zeta_3^2 и $ (x^3 - 2){\ } \sim{\ } \sqrt[3] 2, {\ } \zeta_3\sqrt[3] 2, {\ } \zeta_3^2\sqrt[3] 2

Какова степень расширения $ \mathbb Q {(\sqrt[3] 2, \zeta_3)} : \mathbb Q$ ?

С одной стороны $\mathbb Q(\zeta_3): \mathbb Q] = $ потому как расширяем решением полинома $(x^3 - 1)$

С другой стороны \zeta_3 это решение полинома $x^2 + x + 1$

Кто из этих полиномов "минимальнее"?

 Профиль  
                  
 
 ответ
Сообщение29.03.2006, 12:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
1) $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\colon\mathbb Q]=3$, поскольку $x^3-2$ неприводим и, следовательно, является минимальным для $\sqrt[3]{2}$.

2) $[\mathbb Q(\zeta_3)\colon\mathbb Q]=2$, поскольку $x^2+x+1$ неприводим и, следовательно, является минимальным для $\zeta_3$.

3) $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\,\zeta_3)\colon\mathbb Q(\sqrt[3]{2})]=2$, поскольку степень этого расширения не может быть больше 2 (согласно пункту (2)) и не равна 1 (иначе $\zeta_3\in\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\subseteq\mathbb R)$.

4) из пунктов (1) и (3) следует, что $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\,\zeta_3)\colon\mathbb Q]=6$. Группа Галуа этого расширения равна $S_3$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2006, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6534
Благодарю за помощь.

Как быть, если требуется найти группу Галуа скажем $f(x) = x^3 + 7x + 8 над полем ну скажем $\mathbb F_2 или $\mathbb F_3

в голове Фробениус никак не укладывается - видимо не под тем углом смотрю.

 Профиль  
                  
 
 ответ
Сообщение31.03.2006, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Если $P$ --- конечное поле из $q$ элементов и $Q$ --- расширение $P$ степени $n$, то $Q/P$ --- расширение Галуа. Группа Галуа этого расширения циклическая, порожденная автоморфизмом фробениуса $\sigma\in{\rm Gal}(Q/P)$, $\sigma(x)=x^q$.


Пусть $K$ --- поле разложения $f(x)=x^3+7x+8$.

1) $\mathbb F_2$. $f(x)=x^3+x=x(x+1)^2$. Значит $K=\mathbb F_2$.

2) $\mathbb F_3$.$f(x)=x^3+x+2=(x+1)(x^2+2x+2)$. Полином $x^2+2x+2$ неприводим, следовательно $[K\colon\mathbb F_3]=2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group