Формула Эйлера (парадокс)

[Nimza]

Помогите найти ошибку:

\[ \begin{gathered} e^{2\pi i} = 1, \hfill \\ e^{2\pi i + 1} = e, \hfill \\ \left( {e^{2\pi i + 1} } \right)^{2\pi i + 1} = e, \hfill \\ e^{ - 4\pi ^2 + 4\pi i + 1} = e, \hfill \\ e^{ - 4\pi ^2 } e^{4\pi i} = 1, \hfill \\ e^{ - 4\pi ^2 } = 1, \hfill \\ - 4\pi ^2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

[ewert]

Ну вот! Наконец-то! Наконец-то свершилось! Наконец-то сбылась мечта столь многих на форуме! Наконец-то доказано, что $\pi$ -- это рациональное число!

А сам по себе парадоксик -- вполне симпатичен. Обусловлен неоднозначностью показательной функции общего вида (при разных способах подсчёта используются разные её ветви). Естественно, и результаты получаются разные.

[Nimza]

То есть там всё корректно?)

[ewert]

слева всё корректно, справа -- тоже, но ветви слева и справа выбраны разные

[Someone]

Степень комплексного числа $z_1\neq 0$ определяется формулой $z_1^{z_2}=e^{z_2\mathop{\mathrm{Ln}}z_1}$, где $e^{x+yi}=e^x(\cos y+i\sin y)$ ($x$ и $y$ предполагаем действительными).
Если число $z_1$ записать в тригонометрической форме ($z_1=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$), то получим
$\mathop{\mathrm{Ln}}z_1=\ln r+i(\varphi+2\pi n)$, $n\in\mathbb Z$,
где $\ln r$ -обычный действительный натуральный логарифм. В частности,
$\mathop{\mathrm{Ln}}e^{x+yi}=x+i(y+2\pi n)$, $n\in\mathbb Z$.
Применяя это к Вашему случаю, получим
$\mathop{\mathrm{Ln}}e^{1+2\pi i}=1+2\pi ni$ и
$\left(e^{1+2\pi i}\right)^{1+2\pi i}=e^{(1+2\pi ni)(1+2\pi i)}$, $n\in\mathbb Z$,
то есть, бесконечное множество значений, среди которых есть и $e$ (при $n=0$). А в Ваших вычислениях взято $n=1$.

Заметим, что равенство $\left(e^{z_1}\right)^{z_2}=e^{z_1z_2}$ выполняется, вообще говоря, только в случае, когда $z_2$ - целое действительное число. В остальных случаях слева стоит многозначная функция, а справа - однозначная.

[ewert]

Someone писал(а):

Заметим, что равенство $\left(e^{z_1}\right)^{z_2}=e^{z_1z_2}$ выполняется, вообще говоря, только в случае, когда $z_2$ - целое действительное число. В остальных случаях слева стоит многозначная функция, а справа - однозначная.

Не совсем так: равенство разумно при всех вещественных $z_1$. Причина очень проста: и для $e^z$, и вообще для $a^z$ при $a>0$ по умолчанию предполагается главная ветвь показательной функции -- та, которая вещественно-аналитична. Что и заставляет трактовать обе части равенства однозначно (и, конечно, согласованно). А вот для всех остальных $a$ такого естественного выбора нет.