2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Есть ли простая формула для корня многочлена?
Сообщение30.01.2009, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
$$P(x) = (b^2-a^2)x^2(x-t)^2 +a^4x^2 - b^2R^2(x-t)^2$$
$$0<a<b, \; 0<t<R+a,$$ $$t-$$известный параметр.

Для нахождения корня (который $$a<x<t$$) этого многочлена есть какая-нибудь простая формула?
Все-таки он имеет частный вид. Или придется решать численно?

Уравнение получилось из попытки найти положительные координаты $$(x, y)$$ точки внешнего касания окружности радиуса $$R$$ с центром в начале координат и эллипса при известной горизонтальной координате ($$t$$) центра эллипса с полуосями $$a, b,$$ ориентированными по осям координат.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 11:20 
Аватара пользователя


14/10/07
241
Киев, мм
Это уравнение 4 степени, для него существует "простая" формула для нахождение корней - формула Феррари:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B2%D1%91%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
А более простой формулы нет, учитывающей частный вид уравнения?
(Из общего Феррари и численного я пока выбираю численный метод.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 12:18 


26/12/08
1813
Лейден
почему бы не переобозначить $x^2,(x-t)^2$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 12:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Gortaur писал(а):
почему бы не переобозначить $x^2,(x-t)^2$?

Не догадываюсь, о каком переобозначении идет речь. Что даст переобозначение?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 13:50 


29/09/06
4552
TOTAL писал(а):
Уравнение получилось из попытки найти положительные координаты $$(x, y)$$ точки внешнего касания окружности радиуса $$R$$ с центром в начале координат и эллипса при известной горизонтальной координате ($$t$$) центра эллипса с полуосями $$a, b,$$ ориентированными по осям координат.

$$x^2+y^2=R^2$$
$$\dfrac{(x-t)^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$
Из этой пары ? Или я чего-то не понял? Или Вы чего-то недорассказали? Может, эллипс перемещается вдоль оси ординат, пока не коснётся окружности?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Алексей К. писал(а):
$$x^2+y^2=R^2$$
$$\dfrac{(x-t)^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$
Из этой пары ? Или я чего-то не понял? Или Вы чего-то недорассказали? Может, эллипс перемещается вдоль оси ординат, пока не коснётся окружности?


$$x^2+y^2=R^2$$
$$\dfrac{(x-t)^2}{a^2}+\dfrac{(y-p)^2}{b^2}=1$$
$$t,p>0$$

Вот эти две касаются внешним образом в первом квадранте.
Здесь $$p$$ неизвестно, я его исключил, получилось уравнение для $$x$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 15:31 


11/03/08
524
Петропавловск, Казахстан
А если написать уравнение касательной к одной линии и к другой. А потом потребовать, чтобы эти прямые совпали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
TOTAL, Вы откапываете клад, держа лопату одной рукой. Левой. :lol:
Учтите как-нибудь факт касания (то, что написано сейчас - это пересечение), иначе ничего не получится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 16:11 


29/09/06
4552
Я взял $x=R\cos \xi, \; y=R\sin\xi$, попросил, чтобы нормаль к эллипсу в этой точке была тоже $\xi$, и получилось квдратное уравнение для $\cos\xi$. Детали не привожу, ибо всё на скорую руку в обеденный перерыв, и типа сейчас самопровериться не могу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 20:00 


29/09/06
4552
Пардон, где-то лопухнулся, всё не так...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2009, 07:35 
Заблокирован


19/09/08

754
Схема решения задачи такова:
Во-первых, удобно уравнения окружности и эллипса
записывать в параметрическом виде.
1.Находим производную для окружности в заданной точке
(x).
2.Записываем уравнения эллипса (в параметрическом виде)
с заданными полуосями и С ЦЕНТРОМ В НАЧАЛЕ
КООРДИНАТ!
3.Находим производную уравнения эллипса и приравниваем
ее ранее найденному значению производной окружности.
Решая уравнение, найдем значение параметра, а значит и
координаты точек на эллипсе, в которых значения
производных для эллипса и окружности будут равны друг
другу. (На эллипсе таких точек будет две, - выбрать
нужную).
4.Если теперь сложить (с соответствующим знаком)
векторы (координаты точек на эллипсе и на окружности), то получим вектор, на который нужно перенести эллипс с центром в начале координат, чтобы решить задачу.Т.е. координаты найденного вектора и будут координатами центра искомого эллипса.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2009, 14:27 
Заблокирован


19/09/08

754
Картинка пропала.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2009, 19:37 
Заблокирован


19/09/08

754
Пример:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.02.2009, 07:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
ИСН писал(а):
TOTAL, Вы откапываете клад, держа лопату одной рукой. Левой. :lol:
Учтите как-нибудь факт касания (то, что написано сейчас - это пересечение), иначе ничего не получится.

Как раз после учета факта касания и получается уравнение, написанное в первом посту:
$$(b^2-a^2)x^2(x-t)^2 +a^4x^2 - b^2R^2(x-t)^2=0$$
Осталось найти отсюда $x.$


vvvv писал(а):
Схема решения задачи такова:
...................
3.Находим производную уравнения эллипса и приравниваем
ее ранее найденному значению производной окружности.
Решая уравнение, найдем значение параметра, а значит и
координаты точек на эллипсе, в которых значения
производных для эллипса и окружности будут равны друг
другу. (На эллипсе таких точек будет две, - выбрать
нужную).

Горизонтальная координата центра эллипса задана, а не какая получится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group