Вычислить произведения

[Руст]

Вычислить произведения:
$\prod_{k=1}^{[(n-1)/2]} f(\frac{k\pi}{n}),$ для функций: $f(x)=\sin(x),\cos(x),\tan(x).$

[Amigo]

Как понять "Вычислить произведения для функций"?
Перемножить их между собой что ли?


________________
Вы помойму забыли указать какие именно нужно вычислить произведения.

[Руст]

Там указано, что надо вычислить произведения значений этих функций в точках:
$f(\frac{k\pi}{n})$,
когда k пробегает такие значения, что аргумент остается строго в первом секторе. Вычисления нужно произвести для каждой из указанных тригонометрических функций. Ясно что 3-е является просто отношением. Число n натуральное больше 2.

[juna]

Произведение синусов выражается $\frac {\sqrt{\frac {n}{2}}} {2^{\frac {n}{2}-1}}$, если $n {\equiv } {0} {mod { 2}}$, то и произведение косинусов также выражается этой же формулой.

[Руст]

Если n чётно то должно быть так. Интересно решение. Оно очень красивое для нечётного n.

[juna]

Для нечетного n произведение косинусов даст $2^{-\frac {(n-1)}{2}}$.
Решение действительно интересно своей рекурсивностью. Если Вы пожелаете, я, конечно, изложу его здесь.

[Руст]

Конечно. Не все же мне самому приводит решение. К тому же у вас может быть другое решение.

[juna]

В Вашей формулировке в качестве верхнего предела корректнее было бы использовать целую часть от $\frac {n-1}{2}$, т.е. $[\frac {n-1}{2}]$.
Для произведения синусов существует уже известная формула вида:
$sin{\frac{\pi}{2m}} sin{\frac{2\pi}{2m}} sin{\frac{3\pi}{2m}}… sin{\frac{(m-2)\pi}{2m}} sin{\frac{(m-1)\pi}{2m}}=\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}$ (1)
Я не буду ее здесь выводить, т.к. короткого ее вывода я не знаю, а цитировать источники нет смысла, достаточно их указать – А.М. Яглом И.М. Яглом «Неэлементарные задачи в элементарном изложении» задача №141, если не ошибаюсь, есть в электронной библиотеке на http://www.mccme.ru, у Л.Эйлера также есть что-то подобное. Буду рад, если Вы предложите неортодоксальный вывод.
Теперь в (1) берем $m=\frac {n}{2}$ и, учитывая, что формула (1) верна для целых m проводим необходимые коррекции для четных и нечетных n в виде: для четных последний член $[\frac {n-1}{2}]=\frac {n-2}{2}$; для нечетных последний член в формуле (1) нужно взять $m=\frac {n+1}{2}$. Тогда окончательно приходим к выводу:
$\prod\limits_{k=1}^{[\frac{n-1}{2}]}{sin{\frac{k\pi}{n}}=\frac{\sqrt{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n}{2}-1}}$
Для вывода произведения косинусов заметим, что $cos({\alpha}-\frac{\pi}{2})=sin(\alpha)$ или $sin(\frac{k{\pi}}{n})=cos(\frac{(2k-n)\pi}{2n})$. Ясно, что если n четно, то $ cos(\frac{(2k-n)\pi}{2n})=cos(\frac {(k-n/2)\pi}{n})= sin(\frac{k{\pi}}{n})$. Таким образом, при четных n в произведении косинусов и синусов все множители можно сгруппировать на попарно равные, т.е. произведение косинусов при четном n выражается такой же формулой.
Для нечетных n имеем $cos(\frac{k\pi}{n})=sin(\frac {\pi}{2}-\frac{k\pi}{n})=sin(\frac{\pi(n-2k)}{2n})$, т.е. произведение косинусов для n выражается как произведение синусов для 2n при всех нечетных k. Но произведение синусов для 2n для всех k выражается по уже полученной нами формуле. Если в этой формуле исключить произведение всех четных k, то остается то, что мы ищем. Произведение же синусов при четных k для 2n это тоже самое, что произведение синусов при всех k для n – а формула такого произведения у нас уже есть. Проводя необходимые преобразования, получаем уже указанную формулу для произведения косинусов при нечетном n.

[Руст]

В формуле для произведения указано именно такой верхний предел.
А красивое решение заключается в рассмотрении многочлена:
$P_o(x)=\frac{x^n-1}{x-1}=\prod_{k=1}^{(n-1)/2} (x-exp(\frac{2ki\pi}{n}))(x-(exp(\frac{-2ki\pi}{n})), P_e=\frac{x^n-1}{x^2-1}$,
соответстветственно длч нечётного и чётного случаев.
Рассмотрим значения многочленов в точке -1 и 1:
$1=P_o(-1)=\prod_{k=1}^{(n-1)/2} |-1-cos(\frac{2k\pi}{n})-isin(\frac{2k\pi}{n})|^2 =\prod_k (4cos^2\frac{k\pi}{n})$.
$n=P(1)=\prod_{k=1}^{(n-1)/2} |1-cos(\frac{2k\pi}{n})-isin(\frac{2k\pi}{n})|^2=\prod_{k=1}^{(n-1)/2} (4sin^2\frac{k\pi}{n})$.
Это приводит к формулам:
$\prod_{k=1}^{(n-1)/2} cos \frac{k\pi}{n}=2^{-(n-1)/2} , \prod_{k=1}^{(n-1)/2} sin \frac{k\pi}n} =2^{-(n-1)/2} \sqrt n .$
Аналогично с другим многочленом получаются формулы для чётного n. Можно обобщать на произведения распространяющееся только на сомножители с взаимно простыми k и.т.д.

[Sonic86]

topic17042.html
вроде это

Часть сообщений отделена в тему topic17042.html