2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Полярное разложение
Сообщение19.01.2009, 12:42 


31/05/08
19
Существует ли алгоритм полярного разложения вырожденной матрицы?

Для данной вещественной матрицы $A$ найдите какое-нибудь полярное разложение $A = U*S$, где $U$ - ортогональная, $S$ - неотрицательная симметричная матрица.
$$ {A} = \left( \begin{array}{cccсс} 0 & 0 & 0 & 0 & a\\ 0 & 0 & 0 & a & 0 \\ -b & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & -b & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right) $$
Ответ, конечно, виден почти сразу, а вот как к нему прийти в результате каких-то обоснованных действий, я не знаю. Да и если матрица будет другая, ответ может быть совсем не очевидным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 12:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Формальный ответ: для получения полярного разложения следует диагонализовать матрицу $A^*A$ (ну или наоборот -- лень вспоминать, с какой стороны какой сомножитель должен стоять).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 13:00 


31/05/08
19
Дело в том, что в данном случае $B^2 = AA^*$ диагональна (в общем случае неотрицательная симметричная), из нее извлекаем квадратный корень (все как полагается), но для нахождения ортогональной матрицы $U = A*B^{-1}$ матрицу $B$ нужно обращать, а она вырождена...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 13:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
да нет, не нужно обращать. Просто есть сингулярные ортонормированные базисы на входе и выходе. Для элементов базисов, отвечающих ненулевым числам, соответствие более-менее однозначно (ну с точностью до возможной вырожденности тех сингулярных чисел). А на ядре соответствие можно установить попросту произвольным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 14:23 


31/05/08
19
ewert, извините, но я не совсем понял про базисы на входе и выходе... Напишите, пожалуйста, поподробнее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 15:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ага, если б я помнил в точности всю эту теорию. Ну попытаюсь отчасти восстановить. По Воеводину и Кузнецову:

Цитата:
11.31. Каково бы ни было полярное разложение $A=UH$ матрицы $A$, унитарная матрица $U$ переводит ортонормированный базис из собственных векторов матрицы $A^*A$ в ортонормированный базис из собственных векторов матрицы $A\,A^*$.

Т.е. Вы должны найти два этих ортонормированных базиса и тупо установить биекцию между их элементами. Позаботившись, разумеется, о согласованности с сингулярными числами. И учтя, конечно, что сомножители по сравнению с Вашей задачей тут переставлены.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 15:27 


31/05/08
19
ewert, большое спасибо, вроде понял)) попробую...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 20:35 


31/05/08
19
ewert, еще раз спасибо. Все-таки получилось.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2009, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Хватит и псевдообращения, а оно, с учётом диагональности, сводится к обращению ненулевых элементов и оставлению нулевых нулями...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2009, 19:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Хм, дескать псевдообратная. Поди истчо её найди.

Ладно, на всякий случай (вдруг кому любопытно) восполняю хоть как-то пробелы в моём легкомысленно-предыдущем изложении.

Биекцию надо восстановлять -- безусловно. Другой вопрос, как, ежели сингулярныя числа кратныя.

Так вот. Ежели то кратное число -- нулевое, то и нет вопросов. Как хотим, так и установляем. Образ-то всё равно нулевой.

Ну а ежели ненулевое, то тут аккуратнее. Тут есть стандартное правило, сопоставляющее входному вектору соответствующий ему выходной.

А надобно ли это в конкретной задаче -- зависит от задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group