2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение19.01.2009, 11:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
AlexNew писал(а):
или вы имели в веду что $ (AB-BA) \vec x = C \vec x = \vec 0 $ ?

это уже ближе, но икс тут ни к чему.

Я не очень удачно выбрал в том посте обозначения -- отредактировал, заменив всюду $A$ на $H$.

Так вот. В нашем случае роль однородного уранения $H\vec x=\vec0$ играет $AB-BA=0$, где матрица $A$ выступает в роли вектора $\vec x$, а $H$ -- это некий линейный оператор, действующий в левой части уравнения на матрицу $A$ и определяемый матрицей $B$. И даже не имеет значения, как конкретно определяемый; главное, что линейный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение19.01.2009, 16:43 


19/01/09
7
Латвия
AlexNew писал(а):
А = B^{-1} A B
Нужно найти все возможные А для данной B.
Имеет ли этот вопрос отношение к собственным значениям A, B ?

Помогите пожалуйсто разобраться.


Я бы решил эту задачу следующим простым способом
Как уже было сказано это уровнение можно свести к виду BA = AB

Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда
B^{-1} = A или

A = B^{-1} , тогда справедливо А = B^{-1} A B = B^{-1}

Я тут первый день зарегился и пока не совсем вьехал как писать формулы, матрицы и т.д., поэтому числовой пример не смогу привести. Возьми любую невырожденную матрицу и попробуй сделать как я написал :roll: - и у тебя все получится[/math]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 16:59 
Аватара пользователя


11/06/08
125
Нет. Если $B$ единичная, то $A$ любая, не только единичная.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 17:29 


19/01/09
7
Латвия
Draeden писал(а):
Нет. Если $B$ единичная, то $A$ любая, не только единичная.


А если $B$ - не единичная матрица, а невырожденная матрица отличная от единичной

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2009, 04:21 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
sergey2233 вы нашли частный случай, меня же интерисуют все решения, у вас не видно почему нет других решений.
Но к счастью мы уже нашли способ определения всех возможных матриц для однородного случая : ))

ewert не получается следить за ходом ваших мыслей ...
$HA = BA - BA = 0 $
предположим мы нашли $H$ правда я не уверен что он может всегда существовать, не ясно как это показать.

во вторм случае уже другой оператор
$H'A \neq H' C $

где $H'$ мы не знаем, поскольку
$H'A = BA - BA -C $

я имею в виду, что добавление $C $ изменит $A$ , а значит и $H$, (не вижу почему не изменит)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2009, 10:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$HA=0 \quad\Longleftrightarrow\quad AB-BA=0\quad$ -- однородное уравнение;
$HA=C \quad\Longleftrightarrow\quad AB-BA=C\quad$ -- неоднородное уравнение.

Неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $C$ ортогональна всем решениям $A$ однородного сопряжённого уравнения $H^*A=0$.
Здесь $H^*$ -- сопряжённый оператор, определяемый тождеством $(HA,F)\equiv(A,H^*F)$. Что понимать под скалярным произведением -- дело вкуса, лишь бы аксиомы выполнялись. От этого будет зависеть и явный вид сопряжённого оператора, и смысл требования ортогональности, но утверждение в любом случае останется в силе.

Проще всего использовать стандартное скалярное произведение, равное сумме произведений соответствующих элементов матриц: $(A,F)\equiv\sum_{i,k}a_{ik}b_{ik}$ (я по-прежнему рассматриваю вещественный вариант, т.к. это непринципиально). Тогда сопряжённый оператор выглядит так же, как и исходный, только умножение производится на транспонированную матрицу. Это легко проверить, но у нас-то ситуация ежё проще -- мы ведь исходим из того, что матрица $B$ уже диагональна. А тогда и оператор $H$ "диагонален" в том смысле, что его действие на матрицу $A$ сводится к умножению каждого элемента этой матрицы на некоторое число. В этом случае оператор самосопряжён и, следовательно, уравнение $H^*A=0$ равносильно уравнению $HA=0$.

Ну так вот. Общее решение однородного уравнения нам известно: это все матрицы, у которых в некоторых фиксированных позициях должны стоять нули, а все остальные элементы произвольны.
Условие ортогональности матрицы $C$ ко всем таким матрицам очевидно: требования на элементы матрицы $C$ ровно противоположны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение28.01.2009, 21:55 
Заблокирован
Аватара пользователя


13/01/09

335
AlexNew писал(а):
А = B^{-1} A B
Нужно найти все возможные А для данной B.
Имеет ли этот вопрос отношение к собственным значениям A, B ?

Помогите пожалуйсто разобраться.

AlexNew, вы хватаетесь за многое и у вас поэтому полный сумбур в голове. Особенно это видно по вашим многочисленным перлам в разделе физики.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2009, 00:42 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Nik_Svan писал(а):
вы хватаетесь за многое и у вас поэтому полный сумбур в голове. Особенно это видно по вашим многочисленным перлам в разделе физики.


Nik_Svan не помню чтобы я спрашивал у вас совет.

если вы прочитаете ветку до конца то поймете что это уравнение имеет прямое отношение к собственыым значениям обоих матриц.

спасибо ewert помогшему разобраться

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2009, 01:22 
Заблокирован
Аватара пользователя


13/01/09

335
AlexNew писал(а):
Nik_Svan писал(а):
вы хватаетесь за многое и у вас поэтому полный сумбур в голове. Особенно это видно по вашим многочисленным перлам в разделе физики.


Nik_Svan не помню чтобы я спрашивал у вас совет.

если вы прочитаете ветку до конца то поймете что это уравнение имеет прямое отношение к собственыым значениям обоих матриц.

спасибо ewert помогшему разобраться

Мне не надо было просматривать ветку, чтобы понять, чего вы хотите. Поэтому я сразу заглянул в физический отдел и там вашего бреда поначитался - пусть математики туда заглянут и тогда поймут, о чем я говорю. Я и дал вам совет, жалея вас, а то так неучем и помрете.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2009, 01:56 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Цитата:
Я и дал вам совет, жалея вас, а то так неучем и помрете.

какая добрая душа : )


Цитата:
Мне не надо было просматривать ветку, чтобы понять, чего вы хотите.

может и мне расскажите, а то я давно теряюсь в догадках, "чего же это я хочу?"

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2009, 14:27 
Заблокирован
Аватара пользователя


13/01/09

335
AlexNew писал(а):
Цитата:
Мне не надо было просматривать ветку, чтобы понять, чего вы хотите.

может и мне расскажите, а то я давно теряюсь в догадках, "чего же это я хочу?"

Я вроде ясно выразился: увидел коммутирующие операторы и сразу в физику полез.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2009, 15:39 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Цитата:
Я вроде ясно выразился: увидел коммутирующие операторы и сразу в физику полез.

1) 90% всей математики выросло из физики,
2) в физической ветке я этот вопрос не обсуждал.
3) у вас есть что добавить по существу вопроса?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2009, 17:37 
Заблокирован
Аватара пользователя


13/01/09

335
AlexNew писал(а):
Цитата:
Я вроде ясно выразился: увидел коммутирующие операторы и сразу в физику полез.

1) 90% всей математики выросло из физики,
2) в физической ветке я этот вопрос не обсуждал.
3) у вас есть что добавить по существу вопроса?

По поводу первого пункта - я сразу понял откуда ноги растут.
По поводу второго пункта - я этого не утверждал
По поводу третьего пункта - я уже отвечал: учеба - процесс ненпрерывный и квантовых скачков не терпит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Задачи подобного рода рассматриваются в Гантмахере - Теория матриц (глава 8). Исходная задача в параграфе 2, а с правой частью - в параграфе 3.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2009, 03:49 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
мат-ламер Спасибо очень понятная и приятная книжка во многом!!!

правда пока не совсем ясно про неоднородное.

стр. 207
" если однородное уравнение имеет только нулевое решение (тогда и только тогда, когда матрицы А и В не имеют общих характеристических чисел. ),
то неоднородное имеет одно-единственное решение.

если же матрицы А и В имеют общие характеристические числа, то в зависимости от «свободного члена» С могут представиться два случая: либо однородное уравнение противоречиво, либо оно имеет бесчисленное множество решений"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group