Правильно ли такое решение предела функции?

[zensou]

Есть предел функции двух переменных:
$\lim {\frac {1 - \cos(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2) x^2y^2}}$, при $x \to 0, y \to 0$
У меня возникают сомнения правильно ли я решаю этот предел:
сначала, домножив на $1 + \cos(x^2 + y^2)$ числитель и знаменатель, привожу к виду
$\lim {\frac {\sin(x^2 + y^2)}{1 + \cos(x^2 + y^2)} * \frac{1}{x^2y^2}}$
потом домножаю на $1 - \cos(x^2 + y^2)$ и выходит
$\lim {\frac{1}{2} * (\frac{1}{y^2} + \frac{1}{x^2})} = +\infty$
Дело в том, что по идее решением должно получиться число, здесь $+\infty$, к тому же я не уверен, правильно ли домножать числитель и знаменатель на $f(x,y) \to 0$ при $x \to 0, y \to 0$.

[ewert]

в принципе, правильно, только квадрат при синусе потерян. И потом: при чём тут второе домножение?...

[gris]

zensou писал(а):

правильно ли домножать числитель и знаменатель на $f(x,y) \to 0$ при $x \to 0, y \to 0$.

Не нужно ли здесь условие, что $f(x,y) \neq 0$ в некоторой проколотой окрестности точки $(0;0)$, которое в Вашем случае, конечно, выполняется?

[ewert]

Не нужно (в том смысле, что никакое это не условие).

[gris]

Что, и на тождественный ноль можно умножать?

[ewert]

С одной стороны, автор и не собирался умножать на ноль (на первом шаге, а что там у него за второй и зачем -- я, как уже говорил, не понял). С другой -- условие $(x,y)\neq(0,0)$ подразумевается определением предела.

[gris]

По моему, его смущало, что функция стремиться к нулю. А иначе, чего сомневаться-то?
Я же имею ввиду, что при домножении числителя и знаменателя дроби на функцию $f(x,y)$, на неё надо наложить какое-то условие. Разве не должна она, например, иметь конечный предел и не быть равной нулю в окрестности точки, в которую стремяться $x$ и $y$?

[ewert]

Ну так единица плюс косинус и не равна нулю. И, кстати, синус -- тоже. (а вот существования конечного предела не нужно.)

А вообще-то надо было не заморачиваться, а просто использовать первые два члена формулы Тейлора для косинуса.

[gris]

Я имел ввиду не данный пример, а вообще. Всё понятно.

[vlad239]

gris писал(а):

Я же имею ввиду, что при домножении числителя и знаменателя дроби на функцию $f(x,y)$, на неё надо наложить какое-то условие. Разве не должна она, например, иметь конечный предел и не быть равной нулю в окрестности точки, в которую стремяться $x$ и $y$?

Не быть равной нулю должна, поскольку иначе определение предела придется подправить (на предел в точке сгущения или еще какую-нибудь ересь). А сама не иметь предела - да без проблем (все значения-то не изменились, функции тождественно равны в некоторой проколотой окрестности), просто этим будет сложно воспользоваться.

Влад.

[antbez]

Нас учили в подобных случаях предполагать $y=kx$ и переходить к однократному пределу. Хотя это- и "искуственное" предположение...

[ewert]

antbez писал(а):

Нас учили в подобных случаях предполагать $y=kx$ и переходить к однократному пределу. Хотя это- и "искуственное" предположение...

Оно не искусственное, а неверное. Из существования предела по любой прямой не следует существование предела по совокупности переменных.

[antbez]

Согласен! Не следует! Но для облегчённости решения применяют и такой метод... Что ж делать...

[ewert]

Что делать? -- не применять, разумеется.

[gris]

А если получится, что предел по направлению не зависит от направления? Не будет ли он равен пределу по совокупности (и соответственно указывать на его существование)? Чего-то не могу найти контрпример.

Добавлено: Спасибо за разъяснение. А ведь учил же...