2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Простая(?) задача про объемы и площади поверхности цилидров
Сообщение21.03.2006, 23:16 


21/03/06
1545
Москва
Здравствуйте!

В связи с более общей задачей, возникла следующая проблема, подход к которой мне не удается обнаружить:
Имеем первый цилиндр объемом $V_1$, радиусом основания $r_1$, высотой $H_1$. Имеется второй цилиндр, объем которого в k раз больше объема первого, т.е. $V_2 = kV_1$. Понятно, что изменить площадь цилиндра возможно тремя путями: изменяя только радиус основания, изменяя только высоту, либо изменяя оба этих параметра. В данном случае примем, что $r_2 = r_1 + \delta$, $H_2 = H_1 + \delta$, т.е. приращения радиуса основания и высоты цилиндра одинаковы.

Вопрос1: $\delta(k) = ?$;
Вопрос2: $\frac{S_2}{S_1} = ?$, где S - площадь полной поверхности цилиндра.

Формулы, чтобы не искать далеко:
$V = \pi r^2 H$,
$S = 2\pi rH + 2\pi r^2$.

То, до чего дошел я и собственно не знаю что делать дальше:
$V_1 = \pi r_1^2 H_1$;
$V_2 = \pi r_2^2 H_2 = kV_1 = k\pi r_1^2 H_1$;
$(r_1+\delta)^2(H_1+\delta) = kr_1^2H_1$;
С одной стороны, если решать последнее уравнение относительно дельты, после раскрытия скобок получается многочлен третьей степени, вот он:
$\delta^3 + (H_1+2r_1)\delta^2 + (2r_1H_1 + r_1^2)\delta + r_1^2H_1(1-k) = 0$
находить зависимость делты от k по общим формулам корней многочлена 3-й степени что-то нехочется, да и вряд ли это правильный путь. С другой стороны, интуиция подсказывает, что r и H должны бы сократиться, т.к. дельта все-таки вроде-бы зависит только от k?

И еще. Зная $\delta(k)$, мы подставим ее в формулу площади поверхности, и в конце концов должны получить $\frac{S_2}{S_1} = f(k)$, но, боюсь, тут встанет та же проблема - сложность с сокращением r и H...

В общем, такие вот вопросы для этой, казалось бы элементарной, задачи...
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 e7-e5
Сообщение22.03.2006, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Полностью освободиться о куба не удастся.
$H+\delta=bH$
$r+\delta=ar$
$k=a^2b$
Получилось три уравнения с тремя неизвестными.
Если не ошибся, то после преобразований имеем
$ra^3+a^2(H-r)-kH=0$
От $a^2$ можно освободиться введя $a=x-{\frac {(H-r)} {3}}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2006, 10:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Ошибся я тут. Прежде чем освободиться от квадрата надо разделить обе части уравнения на r. Вчера тех. сложности с интернетом были, вот и не исправил.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2006, 11:31 


21/03/06
1545
Москва
Перейдя к переменным a и b, решая систему трех уравнений с тремя неизвестными, действительно приходим к приведенному выше уравнению. Разделив его на r и вводя замену $a=x- \frac{H-r} {3r}$, в конце концов придем к уравнению, если я ничего не напутал:
$x^3 - x \frac{(H-r)^2} {3r^2} + \frac {2(H-r)^3} {27r^3} -k \frac{H} {r}$ = 0

но что дальше-то делать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2006, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Правильно, ведь от куба не избавиться. Я лишь показал как упростить, чтобы в формулу поменьше букв ставить. Данные формулы хороши и для анализа Вашего предположения, что $\delta$ зависит только от k. Пусть $k=8={2^2}2$, т.е. пусть a=2, b=2, тогда $\delta=H=r$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2006, 14:46 


21/03/06
1545
Москва
Уважаемый Артамонов Ю.Н., действительно, при увеличении объема цилиндра в k = 8 раз, можно сказать, что:
$V_2 = \pi r_2^2 H_2 = 8V_1 = 8 \pi r_1^2 H_1$, т.е.
$(ar_1)^2 bH_1 = 8r_1^2 H_1$,
$a^2 b r_1^2H_1 = 8r_1^2H_1$,
$a^2b = 8$, т.е. $a^2b = k$.
предположив a = b = 2, мы действительно получим равенство $r = H = \delta$, но это только частный случай. В общем случае, r не равно H, соответственно a не равно b.

Используя известные подстановки в общее уравнение многочлена третьей степени, можно избавиться либо от x^2, либо от x. Если не ошибаюсь, именно эти подстановки и лежат в основе общей формулы корней многочлена третьей степени. Но, к сожалению, я не вижу пути к нахождению зависимости $\delta (k)$ и, что более важно, $\frac {S_2} {S_1} = f(k)$.

Дело в том, что для таких фигур как шар и куб, при соотношении $V_2 = kV_1$ и трансформации путем изменения соответствующего образующего элемента (длины стороны куба, либо радиуса шара), легко показать, что $\frac {S_2} {S_1} = k^\frac{2}{3}$. Мне стало интересно - а справедливо ли это соотношение для других, несимметричных фигур (думаю, что нет). И, конечно, хотелось бы найти аналитическую зависимость.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2006, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Пример приведен для того, чтобы показать, что дельта зависит от r, H. Если Вам хочется получить точную формулу – нужно по-честному решать кубическое уравнение (одно действительное значение всегда есть). Пропорциональное изменение объема приводит к пропорциональному изменению площади поверхности для фигур, объем и площадь поверхности которых выражаются через один параметр – куб, шар, тетраэдр и т.д. В Вашем случае это случится, когда H=r.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая(?) задача про объемы и площади поверхности цилид
Сообщение22.03.2006, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
e2e4 писал(а):
находить зависимость делты от k по общим формулам корней многочлена 3-й степени что-то нехочется, да и вряд ли это правильный путь. С другой стороны, интуиция подсказывает, что r и H должны бы сократиться, т.к. дельта все-таки вроде-бы зависит только от k?

Эта пилюля горька, но ... ничего другого, кроме как искать корни многочлена -- нет. Вы выбрали способ, при котором приращение радиуса и высоты равны. Это (при $r_1 \neq H_1$) означает, что исходный и второй цилиндр не подобны, и $\delta$ зависит от соотношения $r_1/H_1$.

Если бы Вы искали в виде $H = \xi H_1$, $r = \xi r_1$, то Вы бы имели ожидаемые Вами результаты.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2006, 12:45 


21/03/06
1545
Москва
Все, теперь я понял в чем моя ошибка. Как правильно сказали Артамонов Ю.Н. и незванный гость, выбрав одинаковые приращения двух неравных параметров, определяющих фигуру, я получаю не подобные фигуры. Для того, чтобы они были подобны (что в общем-то и требуется), надо брать не приращения, а одинаковые множители, например $H_2 = \xi H_1$, $r_2 = \xi r_1$. Тогда получим:
$V_2 = \pi r_2^2 H_2 = \pi \xi^2 r_1^2 \xi H_1 = kV_1 = k \pi r_1^2 H_1$, отсюда
$\xi = k^ \frac{1} {3}$, тогда
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{2\pi r_2(H_2+r_2)}{2\pi r_1(H_1+r_1)} = \frac{\xi r_1(\xi H_1 + \xi r_1)}{r_1(H_1+r_1)} = \xi ^2 = k^ \frac{2} {3}$

Что совпадает с результатом, полученным для шара и куба :)

Спасибо!

А можно ли сказать, что для любого геометрического трехмерного тела справедливо, что при изменении его трансформацией подобия таким образом, чтобы объем отличался в k раз, площадь поверхности будет отличаться в $ k^ \frac{2} {3}$ раз?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2006, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Я бы не стал делать здесь обобщающих утверждений. Ведь существуют геометрические тела для которых, увеличение объема может приводит и к уменьшению площади поверхности, или изменение площади поверхности никак не скажется на изменении объема и т.д.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2006, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
e2e4 писал(а):
А можно ли сказать, что для любого геометрического трехмерного тела справедливо, что при изменении его трансформацией подобия таким образом, чтобы объем отличался в $k$ раз, площадь поверхности будет отличаться в $k^{\frac{2}{3}}$ раз?


Артамонов Ю.Н. писал(а):
Я бы не стал делать здесь обобщающих утверждений. Ведь существуют геометрические тела для которых, увеличение объема может приводит и к уменьшению площади поверхности, или изменение площади поверхности никак не скажется на изменении объема и т.д.


Для подобных фигур???

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2006, 17:59 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
e2e4 писал(а):
А можно ли сказать, что для любого геометрического трехмерного тела справедливо, что при изменении его трансформацией подобия таким образом, чтобы объем отличался в k раз, площадь поверхности будет отличаться в $ k^ \frac{2} {3}$ раз?

Мысли вслух: а что там будет для фрактальных поверхностей?...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2006, 18:06 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Если под трансформацией понимантся аффинное преобразование то да (неважно какое тело). Если речь идёт о фрактале то и степень надо брать фрактальную, обычная площадь или равна нулю или бесконечности (соответственно подобие для обычной площади имеет место).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2006, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Мои уважаемые цензоры правы. А мне затмили голову не фрактальные структуры типа внутреннего объема губки Менгера, а топологический выкрутас: помещаем сферу внутрь другой, заполняем пространство между ними, сверлим дырку до внутренней сферы и начинаем сжимать внутреннюю сферу – объем увеличивается, площадь поверхности уменьшается и т.д. Но как правильно заметил Someone, такое преобразование нельзя назвать подобным.
Если каждый линейный элемент изменяется в $\xi$ раз, то при вычислении площади поверхности ${\xi}^2$ выносится за знак интеграла и отношение $\frac {S_1}{S_2}={\xi}^2$. Аналогично при вычислении объема ${\xi}^3$ выносится за знак интеграла и отношение объемов $\frac {V1}{V2}=k={\xi}^3$ ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Бутылка Клейна
Сообщение23.03.2006, 20:47 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
Я не математик - топологию не учил, скажите, а можно ли вообще говорить об объеме тел вроде бутылки Клейна, и можно ли это вообще телом называть?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group