2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение17.02.2014, 05:13 


17/02/14
25
Россия, ХМАО-Югра, Сургут
abit в сообщении #821241 писал(а):

........

и окончательно для
S = 1+2+3+4+5+... :
S-Sb = (1+2+3+4+5+6+...)-(1-2+3-4+5-6+...) = (0+4+0+8+0+12+...) = 4(1+2+3+4+...) => S-Sb=4S => 3S=-Sb => S = -Sb/3 => S=-1/12

как то можно опровергнуть всю эту цепочку рассуждений так же на пальцах? (ведь вся цепочка вполне без высшей математики сделана), я сколько не думал, не нашёл решения или контр-примера с другими S1,S2,S


Ребята, кажется нашел ошибку в рассуждениях:
$$S=1+2+3+...+n+...$$
$$S_b=1-2+3-4+....-(n-1)+n-...$$
$S-S_b=(1+2+3+...+n+...)-(1-2+3-4+....-(n-1)+n-...)=(0+4+0+8+0+12+...+2n+...)=$
$$=4(1+2+...+n/2+...)  \not = 4S$$
Т.е. последняя сумма ряда имеет всегда в два раза меньше своих членов чем исходная, а ее приравняли к исходной S.
Членов бесконечно, конечно, я имею ввиду, что исходная сумма ряда большего порядка, т.к. при любом сколь угодно большом n, в разности $S-S_b$ чтобы дойти до n-ого члена необходимо брать 2n членов в $S$ и в $S_b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение17.02.2014, 12:24 


17/02/14
25
Россия, ХМАО-Югра, Сургут
Немного углубился:
Разбил сумму $S$ на $S_1$ и $S_2$ две по n/2 членов в каждой:
$$S=S_1+S_2$$, где $$S_1=1+2+3+...+n/2;\ S_2=(n/2+1)+(n/2+2)+...+(n/2+n/2)\Rightarrow$$
$$\Rightarrow S_2=(n/2+n/2+...+n/2)+(1+2+3+...+n/2)=\frac{n^2}{4}+S_1\Rightarrow$$
$$\Rightarrow S_1=(S-\frac{n^2}{4})\frac12$$
при n-> бесконечность, и получатся наши суммы
теперь $S_1$ можно подставить, туда куда до этого подставляли $S$:
$$S-S_b=4S_1=4((S-\frac{n^2}{4})\frac12)=2(S-\frac{n^2}{4})=2S-\frac{n^2}{2} \Rightarrow
S=\frac{n^2}{2}+\frac{1}{4}$$
при n -> в бесконечность, формула не противоречит ни здравому смыслу, ни даже формуле нахождения суммы арифмет. прогрессии. Отсюда видно, что $S_b$ никак не влияет на поведение S при n-> в бесконечность, что и должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение09.02.2015, 20:48 


20/03/14
12041
 !  georg47
Сообщение отделено в Карантин

 !  2-е сообщение georg47 отделено в туда же

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение04.07.2016, 16:44 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Один из способов открыть ларчик таков: подобные суммирования можно воспринимать как бесконечноместные операции (или операции бесконечной арности). Экзотика, конечно, но такое тоже встречается :-)
Вот что по этому поводу написано у Вавилова:
Цитата:
...Громадные усилия многих поколений математиков на протяжении многих веков были посвящены вопросу о том, в каком именно смысле можно определить результат бесконечноместной операции. До XVIII века главенствовала греческая точка зрения "исчерпывания", которая и до сих пор является преобладающей в стандартных учебниках (стандартного) математического анализа...

В XVIII-XX веках появились гораздо более интересные воззрения на то, как следует определять результат бесконечноместной операции. Например, для сумм и произведений вещественных чисел различные (небанальные и, вообще говоря, не совпадающие между собой!) ответы на этот вопрос дают, среди прочего, бесконечная комбинаторика, $p$-адический анализ, теория функций комплексного переменного и нестандартный анализ. Так, например, с комплексно аналитической точки зрения имеет место равенство $$1+2+3+\ldots=-\frac1{12}$$
(формула Эйлера для $\zeta(-1)$), в то время как с точки зрения исчерпывания значения суммы $1+2+3+\ldots$в левой части не определено, и большинство традиционных учебников математического анализа назовут этот ряд «расходящимся». Разумеется, манипуляции с бесконечными суммами такого вида требуют навыка и внимания, так как они не удовлетворяют обычным тождествам алгебры. Гуру такого рода манипуляций в XVIII веке был Эйлер, а в XX веке $-$ Рамануджан. Самое замечательное, что при их выполнении они никогда (или почти никогда!) не ошибались. С точки зрения $p$-адического анализа сходящимся является ряд $1+p+p^2+p^3\ldots$, где $p -$ простое число, например, ряд $1+2+4+8+\ldots$ сходится $2$-адически.


В нашем случае всё завязано на комплексном анализе. Так что те, кто знают комплексный анализ, в принципе, должны понимать, почему сумма всех натуральных чисел равна $-\frac1{12}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение04.07.2016, 19:05 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Такой вопрос из чистого любопытства: вот сумма единиц равна минус одной второй, сумма всех натуральных равна минус одной двенадцатой. То есть суммы получаются отрицательными дробными числами. А есть такой ряд из натуральных, чтобы его сумма была вообще отрицательной иррациональной? Ну так, до кучи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение04.07.2016, 19:43 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Да чего уж там, до кучи можно потребовать и чисто мнимую сумму подмножества натуральных чисел, $\sum \ldots=0+ix$ :?: :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение04.07.2016, 20:57 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Dmitriy40
Это был следующий задуманный мною вопрос, вы меня опередили. А пример-то будет, с $x \ne 0$, ессесно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 82 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group