2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение11.01.2014, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань

(Оффтоп)

mihailm, в банерах не бывает ничего интересного

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение11.01.2014, 02:00 


08/01/14
5
Сербия, Белград
mihailm в сообщении #812641 писал(а):
какое такое вот видео?

Видео непосредственно по теме топика. Да и ссылка на ютуб, а не на левый какой-то сайт же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение21.01.2014, 11:07 


30/08/13
406
а обычный интеграл от линейной функции по бескоонечному интервалу не подойдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение21.01.2014, 13:16 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
у Эйлера и никто не мог высказать сомнения
Изображение

Может быть поэтому дзета-функция названа - не дзета-функция Эйлера, а
дзета-функция Римана?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение21.01.2014, 14:27 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
Мастак в сообщении #817369 писал(а):
у Эйлера и никто не мог высказать сомнения
Изображение

Может быть поэтому дзета-функция названа - не дзета-функция Эйлера, а
дзета-функция Римана?


то есть не высказывались из-за того, что предполагали, что может быть юмора не понимают

PS Редактор тоже был "себе на уме" наверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение31.01.2014, 22:38 


31/01/14
3
ребят, простите, не смог осилить эту тему, кому не лень подскажите, так же на пальцах дали доказательство этой штуки, про -1/12
скажите как её опровергнуть так же просто или согласиться с этой цепочкой, доказательство таково:
сперва найдём сумму
Sa = 1-1+1-1+1-1+...
для этого вычтем из единицы сию сумму:
1-Sa = 1 - (1-1+1-1+1-1+...)
1-Sa = 1-1+1-1+1-1+... => 1-Sa=Sa => Sa = 1/2

теперь найдём сумму
Sb = 1 - 2 +3 - 4 + 5 - 6 + ...
Sb+Sb = (1-2+3-4+5-6+...) + (1-2+3-4+5-6+...)
2Sb = (1-2+3-4+5-6+...) + (0+1-2+3-4+5-6+...) = 1-1+1-1+1-1+... => Sb=Sa/2=1/4

и окончательно для
S = 1+2+3+4+5+... :
S-Sb = (1+2+3+4+5+6+...)-(1-2+3-4+5-6+...) = (0+4+0+8+0+12+...) = 4(1+2+3+4+...) => S-Sb=4S => 3S=-Sb => S = -Sb/3 => S=-1/12

как то можно опровергнуть всю эту цепочку рассуждений так же на пальцах? (ведь вся цепочка вполне без высшей математики сделана), я сколько не думал, не нашёл решения или контр-примера с другими S1,S2,S

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение01.02.2014, 00:18 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Все эти манипуляции имеют смысл при некоторых предположениях, как впрочем и манипуляции со сходящимися рядами, просто во втором случае предположения более естественны.
Итак, можно непротиворечиво поставить в соответствие многим несходящимся рядам некую "обобщённую сумму", такую чтобы она удовлетворяла нескольким разумным условиям: аддитивность, мултипликативность на константу, сдвиг вправо (дополнение несколькими нулями в начале), ну и, естественно, чтобы для сходящихся рядов обобщённая сумма совпадала с обычной. Может, я что-то забыл, но принцип понятен.
Доказано, что обобщённая сумма, удовлетворяющая этим условиям, будет однозначной, т.е. если считать сумму разными путями, то получится одно и то же число. Именно это, и то что для сходящихся рядов это число совпадает с суммой ряда, позволяет назвать это число обобщённой суммой.
И вот в таких условиях можно проделывать вышеприведённые манипуляции с рядами, правда надо не забывать, что это всё-таки не сумма в общепринятом смысле. Тем не менее, эта сумма получается удобной, т.к. позволяет вычислять вещи, другим способом аналитически не вычислимые. В некотором смысле обобщённая сумма аналогична мнимой единице - тоже удобный инструмент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение01.02.2014, 09:52 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  abit, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.
Согласно правлам форума, все формулы и термы следует оформлять $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение03.02.2014, 03:59 


31/01/14
3
Deggial в сообщении #821383 писал(а):
 !  abit, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.
Согласно правлам форума, все формулы и термы следует оформлять $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).


да что вы такие злые... я пытался разобраться как у вас оформить, но это ж целая история, почему не можете сделать нормальный редактор формул вместо math$$/math ? да и что по сути у меня там оформлять кроме индексов в паре мест?
но нет, вы издеваетесь вот такими фразами: "Доказано, что обобщённая сумма, удовлетворяющая этим условиям, будет однозначной, т.е. если считать сумму разными путями, то получится одно и то же число. Именно это, и то что для сходящихся рядов это число совпадает с суммой ряда, позволяет назвать это число обобщённой суммой."

на любом уважающем себя форуме за такое бы забанили пожизнено
рассчитывал, что помогут хоть здесь, а тут вон оно как, ну извините

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение03.02.2014, 09:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(abit)

abit в сообщении #822200 писал(а):
я пытался разобраться как у вас оформить, но это ж целая история
Да ладно уж, "история". Школьники легко разбираются, а для ваших формул пяти минут хватит.
Вот берём вашу формулу
abit в сообщении #821241 писал(а):
Sa = 1-1+1-1+1-1+...
и пишем один знак доллара впереди и один позади: $Sa = 1-1+1-1+1-1+...$. И получаем $Sa = 1-1+1-1+1-1+...$. Правда, многоточие лучше изображать не тремя точками, а специальным знаком \ldots: $Sa = 1-1+1-1+1-1+\ldots$. Ну, надо ещё посмотреть кое-какие мелочи и всякие значки, и уже жить можно без всяких специальных редакторов, которые только отнимают время.

P.S. А тег math поставится сам, в большинстве случаев его явно писать не надо.
P.P.S. Если хотите посмотреть код заинтересовавшей Вас формулы, наведите на неё курсор мыши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение03.02.2014, 10:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
на любом уважающем себя форуме за такое бы забанили пожизнено
Вы серьезно? Написано все понятно и правильно. Впрочем, если человек не может разобраться с $\TeX$, то приведенная фраза для него совсем запредельна,

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение04.02.2014, 02:29 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
abit в сообщении #821241 писал(а):
ребят, простите, не смог осилить эту тему, кому не лень подскажите, так же на пальцах дали доказательство этой штуки, про -1/12
скажите как её опровергнуть так же просто или согласиться с этой цепочкой, доказательство таково:
сперва найдём сумму
Sa = 1-1+1-1+1-1+...
для этого вычтем из единицы сию сумму:
1-Sa = 1 - (1-1+1-1+1-1+...)
1-Sa = 1-1+1-1+1-1+... => 1-Sa=Sa => Sa = 1/2

теперь найдём сумму
Sb = 1 - 2 +3 - 4 + 5 - 6 + ...
Sb+Sb = (1-2+3-4+5-6+...) + (1-2+3-4+5-6+...)
2Sb = (1-2+3-4+5-6+...) + (0+1-2+3-4+5-6+...) = 1-1+1-1+1-1+... => Sb=Sa/2=1/4

и окончательно для
S = 1+2+3+4+5+... :
S-Sb = (1+2+3+4+5+6+...)-(1-2+3-4+5-6+...) = (0+4+0+8+0+12+...) = 4(1+2+3+4+...) => S-Sb=4S => 3S=-Sb => S = -Sb/3 => S=-1/12

как то можно опровергнуть всю эту цепочку рассуждений так же на пальцах? (ведь вся цепочка вполне без высшей математики сделана), я сколько не думал, не нашёл решения или контр-примера с другими S1,S2,S


Определение. Если числовой ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (не абсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
"Пусть ряд сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования,
что (УСЛОВНАЯ, примечание) сумма нового ряда будет равна S".

Или: "Если ряд сходится условно, то для любого числа М можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей (УСЛОВНОЙ) суммой именно число М".

Доказательство см. в учебниках.

Признаки, а точнее те свойства, которые гарантируют абсолютную сходимость, абсолютной сходимости (вспоминая теорему: "Перестановка абсолютно сходящегося ряда приводит к ряду с той же суммой.") см. теория рядов и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение04.02.2014, 02:42 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Мастак в сообщении #822525 писал(а):
Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
"Пусть ряд сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования,
что (УСЛОВНАЯ, примечание) сумма нового ряда будет равна S".
Поэтому изменение порядка суммирования не входит в набор возможных операций для обобщённого суммирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение05.02.2014, 01:40 


31/01/14
3
Мастак
спасибо!!! Вы дали пищу для ума
возникает только вопрос в следствии из теоремы:
"Путём изменения порядка членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся (теорема Римана)."
в том и дело что я не могу решить эту проблему с контр-примером или не хватает ума, не знаю...

вот условно сходящийся ряд из начала доказательства (того что мне дали) : 1-1+1-1+1-1+...
задаём наперёд заданную сумму S=2, как свести к ней сумму ряда?

пока я разбираюсь в доказательстве теоремы и возможно где-то сглупил в вопросе

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение05.02.2014, 02:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
abit в сообщении #822930 писал(а):
вот условно сходящийся ряд из начала доказательства (того что мне дали) : 1-1+1-1+1-1+...

Ряд не является условно сходящимся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 82 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group