2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать, что множ-во не явл. линейным подпространством R2
Сообщение16.03.2006, 16:17 
Аватара пользователя


29/12/05
228
Привет! У меня тут такой вопрос.
Можно ли следующим образом доказать, что множество M не является линейным подпространством пространства \mathbb{R}^2:
M=\{\displaystyle{a\choose{b}}\in{\mathbb{R}}^2|3a+5b+2ab=0\}\subset{\mathbb{R}}^2

В одном форуме мне продставили следующее док-во, которое я считаю необоснованным. Однако автор так толком и не объяснил, почему он это так сделал.


Док-во:
Рассмотрим \displaystyle{-5\choose{-3}},\displaystyle{5\choose{-1}}\in{M}. Эти векторы линейно независимы, след-но M={\mathbb{R}}^2. Но например вектор \displaystyle{100\choose{100}} не является элементом из М. Противоречие. ....это всё!!!
Как он мог из независимости первых двух векторов заключить, что M=R^2??!!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2006, 16:34 


19/01/06
173
Любой вектор на плоскости можно линейно выразить через два линейно независимых вектора.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2006, 16:57 
Аватара пользователя


29/12/05
228
да но как показать, что каждый вектор из R^2 представим в виде линейной комбинации двух линейно независимых векторов из М. Ведь это то,что нам нужно, не так ли? И проверка только при помощи двух таких векторов не убеждает меня.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2006, 17:11 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Если бы М было векторным пространством, то любая линейная комбинация векторов из него также была бы элементом М. Нам предъявлены два вектора из М. Так как они линейно независимы в R2, то образуют базис R2, т.е. любой вектор из R2 представляется как линейная комбинация этих двух. Значит, любой вектор из R2 принадлежит и M. Но это не так, нам предъявлен пример. Значит, M не линейное пространство.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2006, 17:13 


19/01/06
173
Возьмем любой вектор на плоскости. Он линейно выразится через пару линейно независимых векторов из М. Т.е. его будет представлять какая-то линейная комбинация этих двух векторов. Если М к тому же и подпространство, то эта линейная комбинация будет находиться в М. Получилось что взятый в начале любой вектор на плоскости находится в М. И, значит, плоскость совпадет с М.

Единственное, что может нарушить эту цепочку, это то, что М не подпространство.

Вообще-то можно и в лоб доказать. Но щас убегаю и загляну часа через четыре-пять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейное Подпространство
Сообщение16.03.2006, 17:17 
Заслуженный участник


15/05/05
3353
USA
Бабай писал(а):
Как он мог из независимости первых двух векторов заключить, что M=R^2??!!

Так как эти два 2-вектора л.н., то если они образуют линейное п.п., то это п.п должно быть 2-мерным. А следовательно это линейное п.п. (если существует) должно совпадать с $R^2$. Но вектор (100, 100) не принадлежит M. Значит M не совпадает с $R^2$. Противоречие.

Дополнение. Жаль не видел 2х последних постов. Как мы дружно на Бабая!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2006, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5486
Новосибирск
Видимо ещё проще показать явное нарушение хотя бы одной из аксиом линейного пространства.
В множестве М, очевидно, есть ненулевые вектора. Умножение любого из таких векторов на -1 выводит за пределы множества М.
Возьмём для примера вектор $(-5, -3)$ - он удовлетворяет соотношению $3a+5b + 2ab=0$, а вектор $(5, 3)$ ему не удовлетворяет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2006, 18:46 
Аватара пользователя


29/12/05
228
Предпологалось, что я эту задачу должен был решать, используя только критерий для подпространств. Прочитав ещё немного теории, мне особенно понравилось, что написал PAV по этому поводу. Если бы мне тот автор с другого форума также объяснил как вы это сделали, я б давно понял. Вообще я сам пытался только проверить аксиомы, т.е. решить в лоб, только при этом что-то подозрительное получается.

Я думал...Пусть \displaystyle{a_1\choose{b_1}},\displaystyle{a_2\choose{b_2}}\in{\mathbb{R}}^2, такие что 3a_1+5b_1+2a_1b_1=0,3a_2+5b_2+2a_2b_2=0, и пусть М подпространство, т.е.
3(a_1+a_2)+5(b_1+b_2)+2(a_1+a_2)(b_1+b_2)=0,
3{\lambda}a_1+5{\lambda}b_1+2{\lambda}^2a_1b_1=0,
3{\mu}a_2+5{\mu}b_2+2{\mu}^2a_2b_2=0,
тогда 3({\lambda}a_1+{\mu}a_2)+5({\lambda}b_1+{\mu}b_2)+2({\lambda}a_1+{\mu}a_2)({\lambda}b_1+{\mu}b_2)=0\Longleftrightarrow{a_1b_2+a_2b_1=0}
таким образом, если последнее равенство выполняется, то вместе с \lambda\displaystyle{a_1\choose{b_1}}+\mu\displaystyle{a_2\choose{b_2}}=\displaystyle{\lambda{a_1}+\mu{a_2}\choose{\lambda{b_1}+\mu{b_2}}}\in{M}
следует, что \lambda=a_2=b_2,\mu=a_1=b_1
Отсюда видно, что, если М действительно подпространство пространства R^2, то хотя бы один из векторов в линейной комбинации должен быть нулевым. Однако, если один нулевой вектор, то другой может быть любым вектором из R^2. След-но, M=R^2, о чём можно возразить большим число контрпримеров.

Теперь ваша критика...
Помните, что я новичок (в линейной алгебре вообще), поэтому если что ошибочно, то прошу объяснять терпеливо и доходчиво.
:D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2006, 21:19 
Аватара пользователя


29/12/05
228
так что правильно или бред это всё??
как бы вы тогда решили эту задачу в лоб?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.03.2006, 07:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5486
Новосибирск
А Вы хотя бы читаете, что Вам пишут?
Опровергнуть гипотезу, что М подпространство, можно многими способами.
На другом форуме Вам уже сказали: если подпространство двумерно и лежит в двумерном пространстве, то оно совпадает со всем пространством. Поэтому для опровержения гипотезы достаточно указать в М два неколлинеарных вектора. Разными словами Вам и здесь это пытались втолковать.
Решение в лоб тоже перед Вами:
Чтобы опровергнуть гипотезу, достаточно опровергнуть хотя бы одно из определяющих подпространство свойств:
(1) Если $x \in M$ и $y \in M$ , то $x+y \in M$
(2) Если $x \in M$, то $\lambda x \in M$ для любого $ \lambda

Для опровержения (2) берём $ \lambda = -1 и $ x=(-5,-3)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.03.2006, 17:29 
Аватара пользователя


29/12/05
228
Bot, ну зачем сразу сердиться и главное из-за чего? Со мной кстати мжно на "ты"...я же и у тебя дома!Смотри не обижай меня, а то ночью напугаю!!! :D

Да нет, я всё читаю и со всеми решениями тоже полностью согласен. За все решения всю команду очень благодарю!!!

Только решениями, сделанными другими, я никогда сыт не бываю. Всегда ищу другое, своё, пусть и сложнее, и пусть оно в итоге и неправильным оказывается...для меня главное процесс, попытка. Кстати, на других форумах даже и не смотрят, если с самого начала не представил своих, пусть и бредовых, попыток, и правильно.

Конечно, и я в самом начале привёл для себя контрпримеры, при которых критерий подпространсва нарушается, это же самый лёгкий и логичный способ, полностью согласен.
Были просто задачи, в которых мы проверяли множества на выполнение критерия только исходя из преобразований например уравнений, неравенств, описывающих множество, причём для любых веткоров. Это как раз то, что я тоже в самом начале думал сделать, и после всех объяснений написал...только никто не ответил, вот и подумал, что действительно бред написал.

Вообще часто просто я не знаю,что от задачи ожидать. Думаешь, элементарно...сидишь, сидишь, решение простое...потом проверят домашнюю или посмотрел ответ и убеждаешься, что направление было хоть и правильное, но аргументов недостаточно. Обратно, решаешь, думаешь, что задача требует много деталей, а оказывается в две строчки уложиться мог бы. Может опыта просто не хватает, или мозгов...но я всё-равно пытаюсь, потому что это мне нравится. :D

С ПРИВЕТОМ! :roll:
Бабай

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.03.2006, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5486
Новосибирск
Бабай писал(а):
Bot, ну зачем сразу сердиться и главное из-за чего? Со мной кстати мжно на "ты"...я же и у тебя дома!Смотри не обижай меня, а то ночью напугаю!!! :D

Эт-т я разве сержусь? Можно и на ты - мне не в падлу. :D
Ладно, попробую представить себе, что я впервые увидел, что такое линейное пространство и что такое его подпространство, никаких теорем ещё не знаю, знаю только определение. А их два эквивалентных:
1) См выше и
2) Для любых векторов $x,y \in M $ и любых скаляров $\lambda , \mu$ вектор $\lambda x + \mu y$ принадлежит $ M $
Каким из определений проще воспользоваться? В общем-то понятно. Если в положительную сторону, то лучше вторым, чтобы не повторяться, а если в отрицательную, то, видимо, надо избрать первое - там легче найти контрпример. Впрочем для начинающего, лучше избрать первое. Если получится, то потом объединим, а нет так найдём опровержение.
На этот раз, в отличие от предыдущего, изберём первое из составлящих требований первого определения, хотя второе требует меньше писанины.
Пусть числа $a_1, b_1, a_2, b_2 $, удовлетворяют равенствам
$3a_i + 5b_i + 2 a_i b_i = 0 ,  \ \ i=1,2$
Их сложением получаем:
$3(a_1 + a_2) + 5(b_1 + b_2) + 2(a_1b_1 + a_2 b_2) = 0 $
А надо, что? Правильно, чтобы выполнялось требование $x+y \in M $, надо чтобы выполнялось равенство:
$3(a_1 + a_2) + 5(b_1 + b_2) + 2(a_1+a_2)(b_1 + b_2) = 0 $
Правдоподобно ли, что эти два равенства выполняются одновременно? Ну уж, наверно, нет. Ну так давай поищем хотя бы одну опровергающую конкретику. Для начала последуем мудрому правилу: при малом выборе возможностей искать легче. Ограничиваем наш выбор - пусть $x=y$, то есть a_1=a_2=a, b_1=b_2=b
Тогда эти равенства превращаются в
$6a + 10b + 4ab=0$ и $6a + 10b + 8ab=0$
Одновременно они могут выполниться лишь при $ab=0$
Ну вот и опровержение: берём вектора $x, y \in M $ одинаковыми и с ненулевыми координатами, хотя бы и тот же: $x=y=(-5,-3)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group