Ассоциативность композиции

[e7e5]

Такая задачка:
Нужно доказать ассоциативность композиции, что
$(f \circ g) \circ h= f \circ (g \circ h)$

Думаю, что начать нужно с определения композиции -
$y=f(x)$, $z=F(y)$ - заданные функции, область значений функции $f$ содержится в области определения функции $F$.
Функцию $z=F(f(x))$, $x$ принадлежит $D(f)$, $D$- область определения функции., называют сложной функцией или композицией функций $f$ и $F$ ( обозначают $F \circ f$ )

А вот как теперь это к доказываемому применить?

[Профессор Снэйп]

e7e5 писал(а):

Такая задачка:
Нужно доказать ассоциативность композиции, что
$(f \circ g) \circ h= f \circ (g \circ h)$

Ну это же элементарно!

Функции равны тогда и только тогда (по определению), когда их значения на любом из аргументов совпадают. Ну и покажите, для любого $x$ из области определения $f$ выполняется равенство

$$ ((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x). $$

И всё!

[gefest_md]

e7e5 писал(а):

Такая задачка:
Нужно доказать ассоциативность композиции, что
$(f \circ g) \circ h= f \circ (g \circ h)$

Думаю, что начать нужно с определения композиции -
$y=f(x)$, $z=F(y)$ - заданные функции, область значений функции $f$ содержится в области определения функции $F$.
Функцию $z=F(f(x))$, $x$ принадлежит $D(f)$, $D$- область определения функции., называют сложной функцией или композицией функций $f$ и $F$ ( обозначают $F \circ f$ )

А вот как теперь это к доказываемому применить?

если определить функцию как специальный тип отношений, то доказывается ассоциативность композиции отношений: Композиция отношений определяется так: Пусть даны отношения $R\subseteq A\times B$ и $S\subseteq B\times C.$ Тогда

$$S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\mid \exists b\in B((a,b)\in R\wedge(b,c)\in S)\}.$$