2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пересечение полей
Сообщение22.12.2008, 17:11 
Аватара пользователя


18/10/08
454
Омск
Необходимо доказать, что $\mathbb{Q}(\sqrt3, \sqrt7) \cap \mathbb{Q}(\sqrt5) = \mathbb{Q}$.
Для доказательства достаточно построить поля $K_1$ и $K_2$, такие, что
(1) $\mathbb{Q}(\sqrt3, \sqrt7)  \subseteq K_1$,
(2) $\mathbb{Q}(\sqrt5)  \subseteq K_2$,
(3) $K_1 \cap K_2 = \mathbb{Q}$.
Символом $\zeta_n$ обозначим первообразный корень из единицы степени $n$.
Так как $\mathbb{Q}(\sqrt3) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_3, i) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{12}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{84}) $,
$\mathbb{Q}(\sqrt7) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_7, i)\subseteq(\zeta_{28}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{84})$,
то искомым полем $K_1$ будет $\mathbb{Q}(\zeta_{84})$.
Так как $\mathbb{Q}(\sqrt5) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_5)$, то искомым полем $K_2$ будет
$\mathbb{Q}(\zeta_5)$.
Так как $5$ и $84$ взаимно простые числа то $K_1 \cap K_2 = \mathbb{Q}$.

При построении вложений использовалось то, что
$$\mathbb{Q}(\sqrt{p}) \subseteq \left\{ \begin{array}{ll}
\mathbb{Q}(\zeta_p), &\text{если} \left(\frac{-1}{p}\right) = 1, \\
\mathbb{Q}(\zeta_p, i), &\text{если} \left(\frac{-1}{p}\right) = -1, \\
\end{array}\right.$$
где $p$ -- простое число, $\left(\frac{n}{p}\right)$ -- символ Лежандра.

Теперь когда я хочу доказать, что
$\mathbb{Q}(\sqrt3, \sqrt5) \cap \mathbb{Q}(\sqrt7) = \mathbb{Q}$,
то подобным образом построить доказательство не получается, так как я не могу
построить поля $K_1 = \mathbb{Q}(\zeta_n)$ и $K_2 = \mathbb{Q}(\zeta_m)$, чтобы
$n$ и $m$ были взаимно простыми числами.

Что можно сделать в этом случае?
Существует ли более простой способ доказательства?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 18:55 


02/07/08
322
Можно воспользоваться известным фактом о том, что $q_1\sqrt{a_1} + q_2\sqrt{a_2} + \ldots + q_n\sqrt{a_n} = 0 \Rightarrow q_i = 0, i = 1,\ldots,n$, где $q_i\in\mathbb{Q}, a_i\in\mathbb{N}$ и все $a_i$ свободны от квадратов, то есть не делятся на квадрат натурального числа, большего единицы.
Доказывается он не совсем очевидно, хотя и нетрудно, индукцией по $n$.
Или доказать его частный случай, который вам, собственно, и нужен: $a\sqrt{3} + b\sqrt{7} = c + d\sqrt{5} \Rightarrow a = b = c = d = 0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 19:14 
Аватара пользователя


18/10/08
454
Омск
Cave писал(а):
Можно воспользоваться известным фактом о том, что $q_1\sqrt{a_1} + q_2\sqrt{a_2} + \ldots + q_n\sqrt{a_n} = 0 \Rightarrow q_i = 0, i = 1,\ldots,n$, где $q_i\in\mathbb{Q}, a_i\in\mathbb{N}$ и все $a_i$ свободны от квадратов, то есть не делятся на квадрат натурального числа, большего единицы.
Доказывается он не совсем очевидно, хотя и нетрудно, индукцией по $n$.
Или доказать его частный случай, который вам, собственно, и нужен: $a\sqrt{3} + b\sqrt{7} = c + d\sqrt{5} \Rightarrow a = b = c = d = 0$.

То что надо!

Хотя надо доказывать не $a\sqrt{3} + b\sqrt{7} = c + d\sqrt{5} \Rightarrow a = b = c = d = 0$,
а $a + b\sqrt{3} + c\sqrt{7} + d\sqrt{21} = e\sqrt{5} \Rightarrow a = b = c = d = e = 0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group