2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 15  След.
 
 
Сообщение25.01.2009, 14:20 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/01/09

113
Munin писал(а):
В физике такое равенство записывают для безразмерных векторов.


Например?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2009, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Например, вектор нормали к поверхности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2009, 23:21 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/01/09

113
Munin писал(а):
Например, вектор нормали к поверхности.


Это в физике? :roll:

А остальные векторы, такие как вектор скорости, вектор ускорения, вектор силы, радиус-вектор и т.д., в физике единичной меры, по Вашему, не имеют? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вектор скорости измеряется в метрах в секунду, ускорения - в метрах на секунду в квадрате, силы - в Ньютонах, радиус-вектор - в метрах. Здесь не бывает единицы, принципиально. 1 Н - это не единица, это произвольно выбранная величина. Например, 1 дин - другая произвольно выбранная величина.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 00:44 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/01/09

113
Munin писал(а):
Вектор скорости измеряется в метрах в секунду, ускорения - в метрах на секунду в квадрате, силы - в Ньютонах, радиус-вектор - в метрах. Здесь не бывает единицы, принципиально. 1 Н - это не единица, это произвольно выбранная величина. Например, 1 дин - другая произвольно выбранная величина.


Значит скорость не произвольная единица, а сила, поскольку имеет отдельное название, а не $kg \cdot m/s^2 $ - уже не единица? Да! я чувствую мы с Вами скоро далеко зайдем. . .

Но хоть у радиус-вектора есть единичная мера? Или это тоже произвольно выбранная величина не имеющая меры? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/12/08
582
Я про задачу с ускоренным стержнем.
Сначала небольшой вывод формулы, она будет нужна дальше


$v=\frac{w t}{\sqrt{\frac{t^2 w^2}{c^2}+1}}$ (1) ( Ландау и Лифшиц Т2 )

$ v^2=\frac{c^2 t^2 w^2}{c^2+t^2 w^2}$

$ c^2 v^2+t^2 w^2 v^2=c^2 t^2 w^2$

$ c^2 v^2=c^2 t^2 w^2-t^2 v^2 w^2$

$ c^2 v^2=t^2 \left(c^2-v^2\right) w^2$

$ v^2=t^2 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) w^2$

$ v=t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} w$ (2)



Изображение

В лабораторной инерциальной системе отсчёта ИСО_Л вдоль оси $x$ покоится стержень $AB$. Точка $A$ находится в начале координат ИСО_Л, точка $B$ правее. Длина стержня $AB$ в ИСО_Л, как разница координат точек $B$ и $A$ измеренных одновременно в ИСО_Л, в состоянии покоя равна $L$. Стержень $AB$ начал движение с ускорением в положительном направлении оси $x$. Все точки стержня в том числе и точки $A$ и $B$ в ИСО_Л начали движение одновременно. Задняя точка $A$ стержня $AB$ имеет постоянное по величине ускорение $w_A$$ в каждой МСИСО к ней, передняя точка $B$ имеет постоянное по величине ускорение $w_B$ в каждой МСИСО к ней. Чтобы стержень не растягивало, не удлиняло, не деформировало вероятно должна существовать такая МСИСО в которой все точки стержня одновременно мгновенно имеют нулевую скорость в ней (все точки стержня мгновенно покоятся относительно такой МСИСО). То есть, любая точка стержня, например $B$ в такой МСИСО неподвижна относительно любой другой точки этого стержня, например $A$. Такую МСИСО можно назвать МСИСО к стержню $AB$. В каждой такой МСИСО к стержню величина его длины, измеренная в МСИСО когда стержень в ней мгновенно покоился, будет не меняться. МСИСО к стержню можно провести и тогда, когда стержень покоился в ИСО_Л. В этот момент все точки СК такой МСИСО одновременно совпадали со всеми точками СК ИСО_Л и были взаимно неподвижны. Поэтому длина $L$ стержня $AB$ определённая в ИСО_Л будет и длиной этого стержня в МСИСО к стержню. То есть, длина стержня в каждой МСИСО к стержню равна $L$.
Пусть МСИСО стержня имеет скорость $v$ относительно ИСО_Л. Точки $A$ и $B$ с точки зрения МСИСО одновременно покоятся в ней. Так как одновременность относительна то, что одновременно в МСИСО в ИСО_Л уже неодновременно. То есть, с точки зрения ИСО_Л точки $A$ и $B$ достигают скорости $v$ неодновременно. С начала этой скорости достигает задняя точка $A$, а затем через время $ \text{$\Delta $t}=\frac{L v}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ передняя точка $B$.
Пусть в ИСО_Л точка $A$ достигает скорости $v$ за время $t$, тогда в ИСО_Л точка $B$ достигает этой же скорости $v$ за время
$ t+\text{$\Delta $t}=t+\frac{L v}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

По формуле (2)

$ v=t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} w_A$

$ v=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} (t+\text{$\Delta $t}) w_B$

$ t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} w_A=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}(t+\text{$\Delta $t})  w_B$

$ t w_A=(t+\text{$\Delta $t}) w_B$

$ t w_A=\left(t+\frac{L v}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)  w_B$

Вместо $v$ подставим $ t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} w_A$ используя (2)

$ t w_A=\left(\frac{L \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} w_A t}{c^2    \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+t\right) w_B$

$ t w_A=\left(\frac{L w_A t}{c^2}+t\right) w_B$

$ w_A=\left(\frac{L w_A}{c^2}+1\right) w_B$

$ w_B=\frac{w_A}{\frac{L w_A}{c^2}+1}$ (3)

Ускорение передней точки $B$ стержня $AB$ меньше ускорения задней точки $A$ этого стержня.


Если известно ускорение задней точки $A$, стержня $AB$ собственною длиною $L$, то через время $t$ по часам ИСО_Л после начала движения задняя точка $A$ ускоряемого стержня $AB$ такого, что его длина в МСИСО остаётся постоянной, будет иметь скорость в ИСО_Л

$ v_A=\frac{t w_A}{\sqrt{\frac{t^2 w_A^2}{c^2}+1}}$

Cкорость передней точки $B$ будет

$v_B=\frac{t w_A}{\left(\frac{L   w_A}{c^2}+1\right) \sqrt{\frac{t^2 w_A^2}{c^2 \left(\frac{L w_A}{c^2}+1\right){}^2}+1}}$

Длина такого стержня в ИСО_Л, как разница координат его концов (точек $B$ и $A$) через время $t$ будет

По формуле $x= \frac{c^2 \left(\sqrt{\frac{t^2 w^2}{c^2}+1}-1\right)}{w}$ ( Ландау и Лифшиц Т2 )

$ x_A=\frac{c^2 \left(\sqrt{\frac{t^2 w_A^2}{c^2}+1}-1\right)}{w_A} $

$ x_B=\frac{c^2\left(\sqrt{\frac{t^2 w_B^2}{c^2}+1}-1\right) }{w_B}+L $

$ w_B=\frac{w_A}{\frac{L w_A}{c^2}+1}$

$x_B-x_A=-\frac{\left(\sqrt{\frac{t^2 w_A^2}{c^2}+1}-1\right) c^2}{w_A}+\frac{\left(\frac{L w_A}{c^2}+1\right) \left(\sqrt{\frac{t^2 w_A^2}{c^2 \left(\frac{L w_A}{c^2}+1\right){}^2}+1}-1\right) c^2}{w_A}+L$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 13:56 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/01/09

113
Уважаемая Алия87, я давно ждал Вашей формулы

$$v = \frac{{wt}}{{\sqrt {\frac{{t^2 w^2 }}{{c^2 }} + 1} }}$$

и если бы Вы привели только ее одну, как я и просил, то было бы лучше, чем приводить весь вывод.

Дело в том, что она некорректна у Ландау. Правильная (в рамках предпосылок СТО) формула для ускорения приведена у Паули. В случае одномерного движения вдоль оси х она имеет вид (В. Паули, Теория относительности, с. 114)

$\dot u_x  = \dot u'_x \left( {1 - \beta ^2 } \right)^{3/2} ;\,\,\,\,\,\beta  = v/c$

Формула у Ландау где-то становится похожей на формулу у Паули, если правильно сделать преобразование $w^i w_i $ с учетом формул, приведенных у Ландау же. Но полного совпадения не будет. У Ландау идет игра символов, чем он, как известно, очень увлекался, а у Паули производится расчет на основе прямого преобразования из МСИСО в ИСО_Л. Поэтому в его формулах присутствуют, как и полагается, обе системы отсчета и даже дается указание: «эти соотношения имеются уже в первой работе Эйнштейна (и в сноске – у Зоммерфельда)» (там же).

Но и данная формула не решает Вашей задачи. Дело в том, что под корнем стоит параметр $\beta $, в который входит мгновенная скорость МСИСО в рассматриваемый момент времени, и эта скорость суммарная! То есть скорость, которую приобрело само тело от начала движения до данного момента времени. А следовательно, она должна определяться или из выражения (при условии равноускоренного в МСИСО движения)

$v = \dot u'_x t'$

или из выражения

$v = \int_0^t {\dot u_x dt} $

И хотя в рамках предположений СТО эти случаи формально должны давать один и тот же результат, в обоих случаях этот результат нереально получить, особенно во втором.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/12/08
582
Volnovik, Вы считате, что эта формула $ w_B=\frac{w_A}{\frac{L w_A}{c^2}+1}$ неправильная? Потому что выведена с использованием некорректной формулы Ландау $ v=\frac{t w}{\sqrt{\frac{t^2 w^2}{c^2}+1}}$


Эта формула есть и у других авторов

К.Мёллер
Теория Относительности
Изображение


В.А. Угаров
Специальная теория относительности
Изображение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 15:04 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/01/09

113
Во-первых, уважаемая Алия87 и из-за этого, поскольку формулу, о которой я говорил, Вы используете далее, во-вторых, как я показал, если подходить к выводу строго, то в четырехмерных ускорениях вообще нельзя что-либо путного получить приведенными у Вас преобразованиями. Тут появляются интегральные уравнения и без их решения не обойтись. А вообще, тут проблема глубже, уважаемая Алия87. Задачу нужно рассматривать для двух независимых точек, не сводя их в одну систему отсчета, о чем, кстати, говорил и Someone. А вот как свести две МСИСО в одну, если и скорости концов разные, и собственные времена. Ведь МСИСО как раз характеризуется тем, что в начальный для нее момент времени тело покоится. Если в этой системе тело или его части, движутся с некоторой начальной скоростью, теряется все обоснование релятивистского ускорения вместе с формулами для МСИСО.

P.S. И по поводу других авторов. Здесь нужно смотреть на суть вопроса, поскольку дралоскоп в учебниках процветал и процветает. Если есть претензии к Паули, я с одной стороны, за них не ответчик, а с другой стороны готов совместно разобраться. Но если Вы повторите вывод $w^i w_i $ с учетом, что у Ландау же

$$w^i  = \frac{{du^i }}{{ds}};\,\,\,ds = cdt\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} ;\,\,\,u^1  = \frac{v}{{c\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} }};\,\,\,w^i w_i  = w^1 w_1 $$ ,

то получите другое выражение, что и подтверждает ошибочность вывода у Ландау.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Volnovik в сообщении #181210 писал(а):
Значит скорость не произвольная единица, а сила

Впали в маразм? Скорость - это не сила, а скорость.

Хватит нести бред и пропагандировать своё неумение выполнять простейшие выкладки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 20:55 
Заблокирован
Аватара пользователя


21/04/06

4930
Алия87 в сообщении #181361 писал(а):
С начала этой скорости достигает задняя точка $A$, а затем через время передняя точка $B$.


А почему не наоборот?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 23:42 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/01/09

113
Munin писал(а):
Volnovik в сообщении #181210 писал(а):
Значит скорость не произвольная единица, а сила

Впали в маразм? Скорость - это не сила, а скорость.

Хватит нести бред и пропагандировать своё неумение выполнять простейшие выкладки.


Раз Вы ругаетесь, уважаемый Munin, и подтасовываете мои слова, которые в оригинале звучат так:

«Значит скорость не произвольная единица, а сила, поскольку имеет отдельное название, а не $kg \cdot m/s^2 $ - уже не единица?»

и откуда видно, что я ничего ни с чем не отождествляю, как бы Вам это ни хотелось выкрутить, - значит, аргументов у Вас нет. :D Это Вы написали:

«Вектор скорости измеряется в метрах в секунду, ускорения - в метрах на секунду в квадрате, силы - в Ньютонах, радиус-вектор - в метрах. Здесь не бывает единицы, принципиально. 1 Н - это не единица, это произвольно выбранная величина. Например, 1 дин - другая произвольно выбранная величина».

Поэтому давайте лучше отвечайте на вопрос по существу: так имеет радиус-вектор единичную меру или нет?

Вот на это и отвечайте, и нечего валить свое на меня. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.01.2009, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Мдя. Я интерпретировал ваши слова менее кретинским образом. Если вы настаиваете на более кретинской интерпретации, отвечу на неё.

Скорость - не единица. Сила - тоже не единица. Скорость и сила - физические величины, такое специальное понятие. У физической величины есть единица измерения, но от этого физическая величина не становится единицей. Кстати, единица измерения - это тоже не единица, а такое специальное понятие. И наконец, как именно называется единица измерения - значения не имеет. Она может иметь отдельное название, а может называться кг·м/сек^2 - это ни на что не влияет.

Радиус-вектор не имеет единичной меры. И он не произвольно выбранная величина. Он физическая величина. Если выбрать конкретную единицу измерения, то у этой физической величины будет численная мера в этой выбранной единице измерения. А саму единицу измерения можно выбрать произвольной величины.

Всё это банальности, которые должен знать на пять любой школьник, и их обсуждение не интересно. Ваше место за учебниками, а окружающим не хамите.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.01.2009, 01:18 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/01/09

113
Munin писал(а):

Всё это банальности, которые должен знать на пять любой школьник


… и которые Вы делаете вид, что не знаете. Вернее, понимаете, что действительно единица измерения является условной величиной, но от этого она не перестает быть единицей, и без этой самой единицы мы не можем определить параметры исследуемого явления. И мне приходится Вам разжевывать детсадовские тезы, чтобы Вы огрызались, перевирали мои слова, но в конце концов признавали, перемежая ругательствами, то, что Вам невыгодно. А вот невыгодно Вам на следующем этапе то, что не признавая наличие единичной меры, Вы не запишете и радиус-вектор в том виде, в котором Вы уже признали в моей записи, а именно

${\bf{A}} = a_1 {\bf{e}}_{\bf{1}}  + a_2 {\bf{e}}_{\bf{2}}  + a_3 {\bf{e}}_{\bf{3}} $

:D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.01.2009, 02:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Volnovik в сообщении #181415 писал(а):
Но если Вы повторите вывод $w^i w_i $ с учетом, что у Ландау же

$$w^i = \frac{{du^i }}{{ds}};\,\,\,ds = cdt\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} ;\,\,\,u^1 = \frac{v}{{c\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} }};\,\,\,w^i w_i = w^1 w_1 $$


Последнее равенство - Ваша собственная выдумка, к ЛЛ отношения не имеющая. Для случая движения частицы со скоростью $v$ вдоль оси $Ox$ получаем 4-скорость
$$u^i=\left(\frac 1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\frac v{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},0,0\right)\text{.}$$
Дифференцируя, получим
$$du^i=\left(\frac{v\,dv}{c^2\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^3}},\frac{c\,dv}{c^2\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^3}},0,0\right)\text{.}$$
Делим на $ds=c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,dt$:
$$w^i=\frac{du^i}{ds}=\left(\frac v{c^3\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2}\frac{dv}{dt},\frac c{c^3\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2}\frac{dv}{dt},0,0\right)\text{.}$$
Вычисляем свёртку:
$$w^iw_i=\left(\frac v{c^3\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2}\frac{dv}{dt}\right)^2-\left(\frac c{c^3\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2}\frac{dv}{dt}\right)^2=\frac{v^2-c^2}{c^6\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^4}\left(\frac{dv}{dt}\right)^2=-\frac 1{c^4\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^3}\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\text{.}$$
Поскольку $w^iw_i=-\frac{w^2}{c^4}$ (согласно тому же ЛЛ), получаем
$$\frac 1{\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^3}}\frac{dv}{dt}=w\text{.}$$
Интегрирование с учётом начального условия $v|_{t=0}=0$ даёт
$$\frac v{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=wt\text{,}$$
что приводит к выражению
$$v=\frac{wt}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}\text{.}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 218 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 15  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group