Число базисов в пространстве (над GF(q))

[AndreyXYZ]

Изначально задача звучит следующим образом: найти число базисов $n$-мерного векторного пространства над полем из $q$ элементов, и найти число подпространств размерности $m$.
Задачу я решу сам, мне лишь нужно разобрать простой пример.
1) Перечислите базисы 2-мерного пространства над $GF(2)$.
2) Сколько подпространств размерности 2 в пространстве размерности 3?

[VAL]

AndreyXYZ писал(а):

Изначально задача звучит следующим образом: найти число базисов $n$-мерного векторного пространства над полем из $q$ элементов, и найти число подпространств размерности $m$.
Задачу я решу сам, мне лишь нужно разобрать простой пример.
1) Перечислите базисы 2-мерного пространства над $GF(2)$.

Всего 6 базисов. Это количество размещений по 2 из трех ненулевых векторов (1, 0), (0, 1) и (1, 1).

Цитата:

2) Сколько подпространств размерности 2 в пространстве размерности 3?

Столько же, сколько и одномерных - 7.

[AndreyXYZ]

Спасибо. Все понял.
Получил:
1. Число базисов
$(q^n-1)\cdot(q^n-q)\cdot \ldots \cdot(q^n-q^{n-1})$
2.Число подпространств
$\frac{(q^n-1)(q^n-q) \ldots (q^n-q^{m-1})}{(q^m-1)(q^m-q) \ldots (q^m-q^{m-1})}$