2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Суммирующая функция
Сообщение12.03.2006, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Уважаемые математики форума! Докажите следующую асимптотическую формулу:
пусть задана функция вида $\varphi(N)={\frac {b_2} {N^2}}+{\frac {b_3} {N^3}}+{\frac {b_3} {N^3}}+...$
тогда имеем
$\sum\limits_{i=1}^N \varphi(i)=\sum\limits_{q=1}^{\infty}(\ b_q+\sum\limits_{k=0}^{q-1}\frac{C_q^k B_k b_{q+1-k}}q) - \sum\limits_{q=1}^{\infty}\frac 1 {{(N+1)}^q}(\ b_q+\sum\limits_{k=0}^{q-1}\frac{C_q^k B_k b_{q+1-k}}q)$
первое слагаемое формулы - асимптотическое представление некоторой константы.
Bk - числа Бернулли
Формула была выведена индуктивно, но доказать ее полностью не удается. При доказательстве желательно не использовать формулу Эйлера -Маклорена в готовом виде.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 14:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
В формуле есть ошибки. Но судя по виду всё сводится к представлению:
$\frac{1}{n^q}=\sum_{k=0}^{\infty} s_{k,q}(\frac {1}{n^{q+k-1}}-\frac{1}{(n+1)^{q+k-1}})$
При определении коэффициентов $s_{k,q}$ появятся числа Бернулли.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Укажите, пожалуйста, где именно ошибки. Считается, что $b_1=0$.
По-поводу идеи спасибо. Подумаю...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 15:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Мне кажется имеется смещение в индесах для b.
Так всё это есть суммирование отрицательных степеней чисел от 1 до N. Для положительных степеней такой подход дает выражение через многочлены Бернулли. Здесь почти то же самое приведёт выражению через отрицательные степени от N+1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Да нет, наверное, ошибок. Укажу лишь непосредственные следствия из этой формулы, которые являются общеизвестными формулами обвертывающих рядов некоторых констант:
$\zeta(n)=1+\sum\limits_{i=0}^{\infty} {\frac {C_{n-1+i}^i B_i} {n-1+i}$ - дзета функция
\gamma=\frac 1 2 +\sum\limits_{i=2}^{\infty} {\frac {B_i} i - постоянная Эйлера

При индуктивном выводе этой формулы действительно использовались примерно указанные Вами закономерности. Но дело в том, что в окончательном виде данная формула - это лишь догадка, используюшая формулу Бернулли для положительных степеней - проверяем для первого - сходится, для второго - тоже и т.д. - делаем индуктивный вывод, но ничего этим не доказываем. Математическая индукция ведет к таким пугающим выражения, что при попытке доказать - руки опускаются. Может как-то использовать формулу Эйлера-Маклорена?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 20:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
1. Во первых в приведённых формулах все суммы расходящиеся из-за того, числа Бернулли экспоненциально растут.
2. Такого рода формулы, я сам когда то выводил. Но никаких черновиков не осталось, поэтому может быть и нет сдвига в индексах коэффициентов b.
3. Потом мне попалась книга "Конкретная математика" где есть общий вывод формул суммирования Эйлера. Возможно и формула интересующая вас.
4. Всё это перекликается и с книжкой "Квантовый анализ", там тоже есть некоторые способы суммирования.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2006, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
То, что эти ряды расходятся – это очевидный факт – это обвертывающие ряды.
Нужно брать конечное число членов. Ясно, что вместо асимптотического приближения констант в формулу можно сразу подставлять их значения и тогда, хотя ряды и расходятся, но дают лучшее приближение из многих возможных – Вам все это известно. Но вот что меня действительно интересует – можно ли используя эти асимптотические разложения констант как-то продвинуться в вопросе измерения их трансцендентности.
У классиков Эйлера, Харди, Пуанкаре предлагаемой формулы я не нашел. Для констант Эйлер приводит соответствующие формулы, но выводит их из своего интеграла. То, что данная формула большого значения для математики не имеет – скорее всего – это лишь одна из возможных интерпретаций уже открытых Л.Эйлером закономерностей. Но все-таки интересно, откуда она выплывает – выводится аналитически (у Вас, мне кажется, этот интерес уже исчез). В печатных изданиях данная формула вряд ли встретится – уж слишком велико здесь поле различных интерпретаций. В предлагаемой интерпретации я вижу один большой недостаток – она не доказана и одну особенность – отсутствие интеграла. Данная формула видимо аналог формулы Бернулли для отрицательных степеней.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2006, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Огромное спасибо за рекомендации хороших книг. Они как раз попадают в сферу моих интересов.
Кац, Чен "Квантовый анализ" - приобрел, а вот с Грэхем, Кнут, Паташнин "Конкретная математика" - видел на сайте издательства только содержание (облизнулся) - а книги в продаже нет (последнее издание в 2000 г.). Есть она в электронной библиотеке мехмата, но после известного "обрезания" - нет доступа. Если у кого-то есть альтернативные ссылки - большое please...
С уважением и надеждой на дальнейшее общение, Артамонов Ю.Н.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.03.2006, 01:54 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Альтернативные ссылки есть. Воспользуйтесь poiskknig.ru

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group