2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Найдите ошибку в док-ве ВТФ
Сообщение02.12.2008, 19:01 


29/11/08
65
Селенгинск
Найдите, пожалуйста, ошибку в приведённом ниже доказательстве.

Цитата:
Советую тем, кто вовсе не чужд математики, проверить выкладки Ильина наедине с бумажным листом. Возможно, это потребует от вас некоторого напряжения, но оно будет вознаграждено, возможно, вы станете свидетелями рождения чуда.
Итак, требуется доказать, что если X и Y — целые числа в уравнении X^n + Y^n = Z^n, то Z, при n больше 2, — всегда не целое. Прежде чем браться за Ферма, повторим теорему Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Мы вправе для ее написания использовать любые переменные. Запишем ее таким образом: X^2 + Y^2 = R^2, где X, Y, R — целые числа, а Z, утверждает Ферма, — не целое. Попробуем доказать. Понятно, Z не равно R при одних и тех же X, Y. Легкодоказуемо алгебраически, да и просто логически, что Z всегда меньше, чем R. Когда мы возводим X и Y в более высокую степень, то умножаем их на самих себя. Потом их складываем и получаем Z в той же степени n. А при возведении в нее R каждое из слагаемых надо умножить на R, которое больше, чем X и Y.
К примеру, R^3 = (X^2 + Y^2)R = X^2R+Y^2R.
Что делает Ильин? Ничего особенного. Записывает длины сторон треугольника XYR в тригонометрическом виде: X = R \sin A, Y = R \cos A. А значит, Z^n = X^n + Y^n = R^n (\sin A + \cos A). Что такое корень, вы не забыли?
Отлично. Z = R \sqrt[n]{\sin A + \cos A}. Ранее мы доказали, что Z всегда меньше R, стало быть, \sin A + \cos A < 1. Такую тригонометрическую функцию можно найти в любом учебнике математики старших классов и убедиться по графику или таблице, что если значение функции < 1, то угол A больше 60 и меньше 90 градусов. А что произойдет в этом случае с прямым углом В, находящимся между катетами? Он больше уже не будет прямым и окажется в тех же пределах: 60^\circ < B < 90^\circ. Недаром ведь «девяносто, шестьдесят, девяносто» считается идеалом гармонии. Это глупая шутка, чтобы вы немного расслабились. Потому что мы уже близки к финишу. Любой десятиклассник, у которого по математике выше тройки, с ходу воспроизведет вам формулу соотношения сторон треугольника Z^2 = X^2 + Y^2 - 2 X Y cos B. Рассмотрим выражение. При 60^\circ < B < 90^\circ \cos B — число не целое. А значит, и Z неминуемо является таковым при целых значениях X и Y. Что и требовалось доказать.


Источник: http://2005.novayagazeta.ru/nomer/2005/ ... -s00.shtml

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
В генах у Ильина ошибка - в генах! И весь этот текст - одна большая ошибка!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 19:16 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Знамениииитый баян ... Когда я поступил на первый курс, на первом же семинаре по аналитической геометрии преподаватель пришел с этой газетой, отксеренной на всю группу, и предложил быстренько найти ошибку.

После кучи всякой бессмысленной мути в конце концов делается неверный переход:
voroninv в сообщении #163980 писал(а):
При $60^\circ < B < 90^\circ$ $\cos B$ — число не целое. А значит, и $Z$ неминуемо является таковым при целых значениях $X$ и $Y$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 19:23 
Аватара пользователя


25/03/08
241
А нам похожее "доказательство" в маткружке давали на разбор :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 19:23 
Аватара пользователя


02/04/08
742
клиника начинается несколько раньше
voroninv в сообщении #163980 писал(а):
$X = R \sin A, Y = R \cos A.$ А значит,$ Z^n = X^n + Y^n = R^n (\sin A + \cos A)$. Что такое корень, вы не забыли?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 19:40 
Экс-модератор


17/06/06
5004
zoo, да, но это очепятка в газете, насколько я помню. Там рядом фотография доски - на ней степени на месте. А, вообще, да, может, и раньше есть баги, но всё предыдущее рассуждение вообще не нужно. Автор мог сразу сказать, что раз
voroninv в сообщении #163980 писал(а):
$Z^2 = X^2 + Y^2 - 2 X Y cos B$
, то косинус равен то ли нулю, то ли плюс/минус единице, иначе $Z$ не целое - всё доказательство сводится ведь к этому, да? :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 21:01 
Аватара пользователя


02/04/08
742
AD писал(а):
zoo, да, но это очепятка в газете, насколько я помню. Там рядом фотография доски - на ней степени на месте. А, вообще, да, может, и раньше есть баги, но всё предыдущее рассуждение вообще не нужно. Автор мог сразу сказать, что раз
voroninv в сообщении #163980 писал(а):
$Z^2 = X^2 + Y^2 - 2 X Y cos B$
, то косинус равен то ли нулю, то ли плюс/минус единице, иначе $Z$ не целое - всё доказательство сводится ведь к этому, да? :wink:

конечно, fatal error именно здесь

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 21:35 


29/11/08
65
Селенгинск
А я долго тупил над тем правда ли Z<R, т. е. (X^n+Y^n)^{1/n}<(X^2+Y^2)^{1/2}, потом в соседнем топике, где прикалывается Семен нашел коротенькое доказательство этого (by Brukvalub, по-моему). Но потом понял что и Ильин это неплохо доказывает
Цитата:
К примеру, R^3=(X^2+Y^2)R=X^2R+Y^2R>X^3+Y^3=Z^3

и т. д.
Вообще, кстати, непонятно, будет ли существовать треугольник со сторонами X, Y и Z.
Ну и, конечно, конец доказательства Ильин смазал :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 21:44 
Аватара пользователя


02/04/08
742
а разве могло быть иначе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите ошибку в док-ве ВТФ
Сообщение02.12.2008, 22:26 


03/10/06
826
Цитата:
Итак, требуется доказать, что если X и Y — целые числа в уравнении X^n + Y^n = Z^n, то Z, при n больше 2, — всегда не целое. Прежде чем браться за Ферма, повторим теорему Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Мы вправе для ее написания использовать любые переменные. Запишем ее таким образом: X^2 + Y^2 = R^2, где X, Y, R — целые числа, а Z, утверждает Ферма, — не целое.

"где X, Y, R — целые числа". Почему R должно быть целым?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2008, 23:08 


29/11/08
65
Селенгинск
yk2ru в сообщении #164056 писал(а):
Почему R должно быть целым?

Это первый косяк, но дальше не используется, что R - целое.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 01:40 


03/10/06
826
Меньше единицы сумма степеней синуса и косинуса, а просто сумма синуса и косинуса может оказаться большей единицы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 08:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
yk2ru в сообщении #164115 писал(а):
Меньше единицы сумма степеней синуса и косинуса
Вторых степеней? :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 14:18 


03/10/06
826
Brukvalub писал(а):
yk2ru в сообщении #164115 писал(а):
Меньше единицы сумма степеней синуса и косинуса
Вторых степеней? :shock:

Степеней $n$ (три и более), которые при напечатании статьи потеряли.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 16:44 


29/11/08
65
Селенгинск
Что-то я вот сходу не нарисую график функции \sin^n A +\cos^n A.
И даже формулы я такой не помню (да и здесь в разделе для формул нету), хотя вроде было что-то такое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group