2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Одно диофантово уравнение (eng)
Сообщение10.03.2006, 11:51 


09/03/06
32
Sibiu ,Romania
Consider the equation , in positive (distinct) integers,
$(*)\; \; \; \; \; \; \begin{array}{|c|} \hline x^3+y^5=z^7\\
\hline \end{array}\; .$

1) In order to show that $(*) $ has solutions $(x,y,z) $ , verify that $(*) $ is satisfied when :

$ \; \; \; \; \; \left\{\begin{array}{lll} x&: =&x(u,v,p) = u(u^3+v^5)^{35p+30}\\ y&: =&y(u,v,p)= v(u^3+v^5)^{21p+18} \\ z&: =&z(u,v,p)= (u^3+v^5)^{15p+13}\\ \end{array}\right. \;  ,  $
$(u,v,p)$ being an arbitrary point in ${\mathbb N}^* \times {\mathbb N}^* \times {\mathbb N}\; . $ ($ {\mathbb N}:=\{0,1,...\} \; ,\;  {\mathbb N}^*:=\{1,2,...\}  $).

2)
There are other solutions ?
3) There exists a solution $(x,y,z)$ such that $x,y,z $ are the length-sides of a triangle whose area is also an integer ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 13:31 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
What's the point in copying problems from MathLink forum?

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=430136

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 14:55 


09/03/06
32
Sibiu ,Romania
maxal писал(а):
What's the point in copying problems from MathLink forum?
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=430136

It's not so : sasa:=flip2004 . A motivation is that there, in Mathlink forum, does not appear any solution.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 15:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Если там не решили (я там тоже видел, но не хотелось писать длинные вещи на английском).
Обозначим через $d^{15}=(x^3,y^5)$, тогда $x^3=u^3*d^{15}$, $y^5=v^5d^{15}$. Тогда получаем $(u^3+v^5)d^{15}=z^7$, $(u,v)=1$. Из последнего следует так же, что $(u,d)=1=(v,d)$. Уравнение $u^3+v^5=z_1^7$ не имеет взаимно простых нетривиальных решений. Это можно доказать рассмотрением по модулю простого числа 211 (211-1 делится на 3,5,7). Поэтому должно быть $d=d_1^7*d_2$ и
$(u^3+v^5)d_2^{15}$ является седьмой степенью. Для последнего получаются решения $d_2=(u^3+v^5)^6$. Это дает решения в виде:
$x=u(u^3+v^5)^{30}d_2^{35},y=v(u^3+v^5)^{18}d_2^{21},z=(u^3+v^5)^{13}d_2^{15}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 22:07 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст писал(а):
Обозначим через d^15=(x^3,y^5),

Кто сказал, что НОД x^3 и y^5 будет точной 15-й степенью?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 22:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть $p$ простое число делящие одновременно $x^3$ и $y^5$ степени. Тогда первое делится на $p^{3k}$, второе на $p^{5m}$. Если k не делится на 5 или m не делится на 3, то или $(x/p^k,(x^3,y^5))$ или $(y/p^m,(x^3,y^5))$ не равно нулю, что приводит к возможности дальнейшего сокращения на степень p в силу уравнения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 22:31 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Ну и что?

Например, возможна ситуация:
$x^3$ делится на $p^{21}$, $y^5$ делится на $p^{25}$, $z^7$ делится на $p^{21}$ и $(x^3,y^5)=p^{21}$ не является точной 15-й степенью.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 22:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
В принципе я не доказал, что не существуют такие решения, поэтому будем считать, что нашёл некоторые, возможно (или скорее) не все.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group