2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 метрич пространства
Сообщение28.11.2008, 20:13 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Ну очень простая задача. :lol:

Пусть $(X,d)$ --свзное метрическое пространство; отображение $f:X\to X$ непрерывное и
$\inf_{x\ne y}\frac{d(f(x),f(y))}{ d(x,y)}>0$. Докаазать, что $f$ -- отображение "на".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.11.2008, 21:16 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Сначала, судя по всему, надо записать, что первоначальное условие эквивалентно тому, что $\forall x\neq y: d(f(x),f(y)) \geqslant kd(x,y), k>0$. Далее - что это инъекция, и, т.к. $f^{-1}$ на $Im(X)$ непрерывно ( исходя из того же условия ), вообще гомеорфизм между $X$ и $Im(X)$.
А вот тут что-то не соображу - получается же, что тогда $Im(X)$ будет открыто-замкнутым, что противоречит связанности, или нет? :oops:

Add:
Прочтя нижеследующий пост, понял, что в топологии $X$ таки не будет открыто-замкнутым. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.11.2008, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
А если мы возьмём $X=[0,1]$ и определим отображение $f\colon X\to X$ формулой $fx=\frac x2$ при $x\in X$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.11.2008, 14:31 
Аватара пользователя


02/04/08
742
ууупсс :oops:
идея была такая:
Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство; непрерывное отображение $f:X\to X$ имеет неподвижную точку и
$\inf_{x\ne y}\frac{d(f(x),f(y))}{ d(x,y)}>1$. Докаазать, что $f$ -- отображение "на". Вот верно ли это или нет еще надо проверить

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.11.2008, 17:34 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
zoo
$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}: z \to 2z$ с наследованной топологией не подойдет в к-ве контрпримера?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.11.2008, 17:54 
Аватара пользователя


02/04/08
742
ну значит с этим надо завязывать

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.11.2008, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Легко и связный пример придумать. Возьмём на плоскости $\mathbb R^2$ множество $X=\{(x,y):x\geqslant|y|\}$, а отображение $f\colon X\to X$ определим формулой $f(x,y)=(3x,2y)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group