2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 
Сообщение22.01.2009, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
VladTK в сообщении #180175 писал(а):
Но самому считать в лом

Ну не считайте! Оцените! Загоните сложности в буковку, и не считайте её. И сделайте эту буковку порядка единицы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.01.2009, 19:04 
Аватара пользователя


05/06/08
413
Munin
КХДшному теоретику такое бы сказали - он бы повесился с тоски...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.01.2009, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да ладно, первые расчёты на таком уровне и делались...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.01.2009, 15:40 


16/03/07
825
Munin писал(а):
Ну не считайте! Оцените! Загоните сложности в буковку, и не считайте её. И сделайте эту буковку порядка единицы.


Ну не я же вопросом интересовался :) Ладно, часть посчитал благодаря Вашей настойчивости :) Правда, я по ходу переиграл шары местами (т.е. нахожу силу действующую на первый шар со стороны второго) и в расчетах ось z направил по направлению оси вращения первого шара. А "оценивать" в случаях когда можно посчитать точно я не люблю. Понимаю, что нелогично, но вот...

Третье слагаемое в лагранжиане ("Ньютон" с добавками) состоит из 3 членов: первый - "чистый" Ньютон (считать как не просите не буду :) ), второй - релятивисткая корректировка "Ньютона" из-за изменения полной энергии, третий - тоже что и второй но с хитроумной угловой зависимостью (но в принципе ничего нового по сравнению со вторым членом). Итак второй член:

$$ 3 \int_{V_1} \int_{V_2} \frac {G \rho(\vec r_3) \rho(\vec r_4) \vec v^2(\vec r_3)} {c^2 |\vec r_3-\vec r_4|} d \vec r_3 d \vec r_4 $$

Перейдем к новым переменным:

$$ \vec r_3 = \vec r_1 + \vec r_{31} $$

$$ \vec r_4 = \vec r_2 + \vec r_{41} $$

Якобиан единичный. Сначала проинтегрируем по $\vec r_{41}$ с помощью формулы

$$ \frac {1} {|\vec r_3-\vec r_4|} = 4 \pi \sum\limits_{l=0}^{\infty} \sum\limits_{m=-l}^{l} \frac {r_4^l} {(2 l+1) r_3^{l+1}} Y_{l m} (\Omega_{r_3}) Y_{l m}^{\star} (\Omega_{r_4}) $$

с учетом ортогональности сферических функций

$$ \int_{\Omega_{r_4}} Y_{l m} (\Omega_{r_4}) Y_{l' m'}^{\star} (\Omega_{r_4}) d \Omega_{r_4} = \delta_{l l'} \delta_{m m'} $$

Получим

$$ \frac {3 G M_2 \rho_1} {c^2} \int_{V_1} \frac {\vec v^2(\vec r_1 +\vec r_{31})} {|\vec r_1-\vec r_2 + \vec r_{31}|} d \vec r_{31} $$

Далее, скорость точки определяется как

$$ \vec v = \dot \vec r_1 + \dot \vec r_{31} $$

Точка над величинами означает производную по времени. При этом последний член выражается через векторное произведение угловой скорости и радиус-вектора

$$ \vec v = \dot \vec r_1 + \vec \omega_1 \times \vec r_{31} $$

Берем квадрат скорости

$$ \vec v^2 = {\dot \vec r_1}^2 + 2 \dot \vec r_1 (\vec \omega_1 \times \vec r_{31}) + (\vec \omega_1 \times \vec r_{31})^2 $$

Второе слагаемое здесь вклада в интеграл не даст, вследствие нечетности, а последнее распишем по правилам векторной алгебры

$$ \vec v^2 = {\dot \vec r_1}^2 + \vec \omega_1^2 \vec r_{31}^2 - (\vec \omega_1 \vec r_{31})^2 $$

Собирая все в это в интеграл и производя интегрирование с помощью все тех же сферических функций окончательно получим

$$ 3 \int_{V_1} \int_{V_2} \frac {G \rho(\vec r_3) \rho(\vec r_4) \vec v^2(\vec r_3)} {c^2 |\vec r_3-\vec r_4|} d \vec r_3 d \vec r_4 = \frac {3 G M_1 M_2} {|\vec r_1 - \vec r_2|} \left ( \frac {{\dot \vec r_1}^2} {c^2} + \frac {2 \omega_1^2 R_1^2} {5 c^2} \right ) - \frac {3 G M_1 M_2 \omega_1^2 R_1^4} {35 c^2 |\vec r_1 - \vec r_2|^3} \left ( 3 \cos^2 (\theta_{r_1 r_2}) - 1 \right ) $$

Напомню, что $\vec r_1$ и $\vec r_2$ - радиус-векторы центров шаров, $\vec \omega_1$ и $\vec \omega_2$ -угловые скорости их вращения (причем ось z системы координат направлена по угловой скорости первого шара),$ M_1, M_2, R_1, R_2$ - их массы и радиусы соответственно. Хочу особо заметить, что последний член в данной формуле дает отрицательный вклад в Ньютоновскую силу при параллельных оси вращения шара и линии соединяющей центры шаров :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2009, 08:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Аплодирую вашему мастерству, но всё равно ж меня только скобочки интересуют. И вот они-то подозрительны: почему от угла между $\boldsymbol{\omega}_1$ и $\mathbf{r}_{12}$ зависимость есть, а угол $\boldsymbol{\omega}_1$ по боку?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2009, 09:23 


16/03/07
825
Потому что ось z направлена по вектору $\omega_1$. Во втором члене, который я не считал, а только прикинул что он там содержит, появляется еще вектор угловой скорости второго шара $\omega_2$

Наиболее интересны трехчастичные силы. Но там вычисления существенно сложнее и "точности" не получается. Получается бесконечный ряд по моментам. Хотя в реале из этого ряда интересуют пара слагаемых. Причем угловая зависимость еще "завернутей" чем в "Ньютоне".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2009, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В смысле, это у вас только половина расчёта? Тогда понятно. Я так понимаю, в другом получится та же скобочка $3\cos^2\theta-1?$

А насчёт отрицательного вклада - сравните его с соответствующим первым слагаемым. Если сравнение будет в его пользу только при $\lvert\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\rvert<R_1+R_2,$ смысла в такой отрицательности за пределами условий задачи немного.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2009, 14:51 


16/03/07
825
Цитата:
В смысле, это у вас только половина расчёта? Тогда понятно. Я так понимаю, в другом получится та же скобочка...


Да. Причем "косинусы" будут оба отрицательны.

Цитата:
А насчёт отрицательного вклада - сравните его с соответствующим первым слагаемым. Если сравнение будет в его пользу только $|\vec r_1-\vec r_2|<R_1+R_2$ при смысла в такой отрицательности за пределами условий задачи немного.


По условию задачи $|\vec r_1-\vec r_2| \ge R_1+R_2$. Вклад "косинусов" в силу, вообще говоря, не мал по сравнению с другими добавками (по крайней мере вблизи шаров).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2009, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
VladTK в сообщении #181030 писал(а):
По условию задачи $|\vec r_1-\vec r_2| \ge R_1+R_2$.

Вот именно.

VladTK в сообщении #181030 писал(а):
Вклад "косинусов" в силу, вообще говоря, не мал по сравнению с другими добавками (по крайней мере вблизи шаров).

Но это не значит, что превышает.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 09:26 


16/03/07
825
Munin писал(а):
Но это не значит, что превышает.


Нет конечно. Предположим мы так зафиксировали шары, что они не могут двигаться поступательно, но могут вращаться. Тогда

$$\dot \vec r_1=\dot \vec r_2=0$$

Далее, пусть $R_1>>R_2$ Тогда при $ |\vec r_1-r_2|=R_1+R_2 $

$$ \frac {R_1^2} {|\vec r_1-\vec r_2|^2} \approx 1 $$

Ось вращения шаров пусть параллельна линии, соединяющей центры шаров

$$ \theta_{r_1 r_2}=0 $$

Тогда слагаемые в моей формуле примут вид

$$ \frac {6} {5} \frac {G M_1 M_2} {R_1} \frac {\omega_1^2 R_1^2} {c^2} $$

и

$$ - \frac {6} {35} \frac {G M_1 M_2} {R_1} \frac {\omega_1^2 R_1^2} {c^2} $$

Т.е. в максимуме отрицательная добавка равна 1/7 от положительной.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.01.2009, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Интересно. То есть добавки у вас все положительны, но добавка от поворота оси вращения не равна добавке от раскручивания? Интересно, почему бы это.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 10:32 
Аватара пользователя


14/02/07
222
VladTK в сообщении #180175 писал(а):
Но самому считать в лом Если хотите посчитайте RSaulius сами.

Не хватит у меня подготовки . Пока с Вашей и Мунина помощю пробую выяснить основные принципы ОТО , через примеры.

Munin в сообщении #179977 писал(а):
я для кого приводил? Там - это антивещество. То самое, с отрицательной энергией


Понял.
Если все-же предположить , что гравитация и антигравитация отталкивает - будет ли это противоречить принципу эквивалентности ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2009, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
RSaulius в сообщении #182381 писал(а):
Если все-же предположить , что гравитация и антигравитация отталкивает - будет ли это противоречить принципу эквивалентности ?

Да.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 14:17 
Аватара пользователя


14/02/07
222
как Вы думаете , возможно ли впринципе , написать уравнения гравитации под другую симетрию мира - где гравитация и антигравитация - отталкивает , и так , чтоб эти уравнения не противоречили бы известным экспериментальным фактам ?
Ведь нет экспериментальных фактов , что противоположные грав. заряды притягиваются. Даже гравимагнитный эффект экспериментально не обнаружен ,не смотря на все старания ( кстати , в мире этой новой симетрии взаимодействие вращающихся тел ,наверно уже зависело бы от направления вращения).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
RSaulius в сообщении #188273 писал(а):
как Вы думаете , возможно ли впринципе , написать уравнения гравитации под другую симетрию мира - где гравитация и антигравитация - отталкивает , и так , чтоб эти уравнения не противоречили бы известным экспериментальным фактам ?

Нет.

RSaulius в сообщении #188273 писал(а):
Ведь нет экспериментальных фактов , что противоположные грав. заряды притягиваются.

Есть такие факты. Это отклонение света Солнцем.

RSaulius в сообщении #188273 писал(а):
Даже гравимагнитный эффект экспериментально не обнаружен ,не смотря на все старания

То же отклонение света Солнцем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 113 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group