2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Икланда и ее следствия
Сообщение21.11.2008, 15:34 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Вот решил разобраться с теоремой Икланда и некоторыми прилегающими вопросами. Сейчас напишу текст распечатаю и положу к себе в коллекцию. :wink: Все что написано ниже -- по материалам из интернета очень разного качества.

Пусть $X,d$ -- полное метрическое пространство.

Теорема (Ekland)

Пусть $\psi:X\to \mathbb{R}$ -- полунепрерывная сверху и ограниченная сверху функция.
Тогда для любого $\varepsilon>0$ существует $y\in X$ такой, что
$\psi(y)>\psi(x)-\varepsilon d(x,y)$
для всех $x\in X\backslash\{y\}.$
Кроме того $\psi(y)>\sup\psi(X)-\varepsilon$.




Доказательство.
Построим последовательность элементов $\{z^k\}\subset X $ и последовательность множеств
$S_k$ $k\in \mathbb{Z}_+$ следующим образом.

$z^0$ выберем из условия $\psi(z^0)>\sup\psi(X)-\varepsilon$ Такое $z^0$ существует в силу ограниченности сверху $\psi$.

Предположим, что $z^m$ известно и определим
$S_m=\{x\in X:\psi(z^m)\le \psi(x)-\varepsilon d(x,z^m)\}$

Выберем $z^{m+1}\in S_m$ так, что
$\psi(z^{m+1})\ge\sup\psi(S_m)-\frac{1}{m+1}$

Множества $S_m$ не пусты т.к. $z^m\in S_m$. Т.к. отображение
$\psi(\cdot)-\varepsilon d(\cdot,z^m) $полунепрерывно сверху, множества $S_m$ замкнуты.

Лемма 1. $S_{m+1}\subseteq S_m$.

Действительно, пусть $x\in S_{m+1}$
Тогда
$\psi(x)-\varepsilon d(x,z^m)\ge \psi(x)- \varepsilon d(x,z^{m+1})-\varepsilon d(z^{m+1},z^m)\ge \psi(z^{m+1})-\varepsilon d(z^{m+1},z^m)\ge \psi(z^m)$
ЧТД


Лемма 2 $\mathrm{diam}\, S_m\le \frac{2}{\varepsilon m}$

Доказательство.
Пусть $x\in S_m$ в силу леммы 1 $x\in S_{m-1}$.
Имеем $\varepsilon d(x,z^m)\le \psi(x)-\psi(z^m)\le \sup \psi(S_{m-1})-\psi(z^m)\le 1/m$
ЧТД

В силу леммы 2 последовательность $\{z^m\}$ является последовательностью Коши, предел этой последовательности обозначим через $y$, $z^m\to y$. По леммам 1, 2 и ввиду замкнутости множеств $S_m$ имеем $\{y\}=\bigcap_{k\in \mathbb{Z}_+}S_k$

Это и есть $y$ из формулировки теоремы. Предположим это не так. Т.е. найдется $x$, $x\ne y$ такой, что $\psi(x)-\varepsilon d(x,y)\ge\psi(y)$ Тогда
$\psi(x)-\varepsilon d(x,y)\ge\psi(y)\ge\psi(z^m)+\varepsilon d(y,z^m)$ для всех $m$.
Отсюда $\psi(x)\ge \psi(z^m)+\varepsilon (d(x,y)+d(y,z^m))\ge \psi(z^m)+\varepsilon d(x,z^m)$. Следовательно, $x\in   \bigcap_{k\in \mathbb{Z}_+}S_k$ и $x=y$ Противоречие.
Теперь проверим второе неравенство теоремы. Для этого заметим, что $y\in S_0$ и поэтому
$\psi(y)>\psi(z^0)+\varepsilon d(z^0,y)>\sup\psi (X)-\varepsilon$.
Теорема доказана.

Теорема (Caristi)

Предположим имеется отображене $f:X\to X$. И функция $\psi:X\to\mathbb{R}$ ограничена снизу и полунепрерывна снизу. Причем для всех $x\in X$ справедливо неравенство
$d(x,f(x))\le \psi(x)-\psi(f(x))$ Тогда отображение $f$ имеет неподвижную точку.

Доказательство.
В силу теоремы Икланда найдется $y$ такой, что $\psi(y)<\psi(x)+d(x,y)$ при всех $x\ne y$. Но из условия теоремы следует, что
$\psi(y)\ge d(y,f(y))+\psi(f(y))$ следовательно $f(y)=y$.
ЧТД

Если отображение $f$ -- сжимающее: $d(f(u),f(v))\le qd(u,v),\quad 0\le q<1$ то применяя только что доказаную теорему с функцией $\psi(x)=\frac{d(f(x),x)}{1-q}$ мы получим принцип сжатых отображений в части существования неподвижной точки.

Еще одна

Теорема (Caristi) (С небольшим моим уточнением)

Предположим имеется отображене $f:X\to X$. И функция $\psi:X\to\mathbb{R}$ ограничена снизу и полунепрерывна снизу. Причем для всех $x\in X$ справедливо неравенство
$d(x,f(x))\le \psi(x)-\psi(f(x))$ Тогда если функция $\psi$ не достигает своего минимума на $X$ то множество неподвижных точек отображения $f$ некомпактно.

Доказательство. Пусть $W$ -- множество неподвижных точек $f$. По предыдущей теореме это множество не пусто. По теореме Икланда для любого $\varepsilon>0$ найдется $y\in X$ такой, что
$\varepsilon d(x,y)>\psi(y)-\psi(x)$ для всех $x$ таких что $x\ne y$. Как и выше, отсюда следует, что $y$ -- неподвижная точка $f$. Т.е. $y\in W$.

Предположим $W$ компактно. Тогда по условию теоремы $\inf \psi(X)<\min \psi(W)$ По теореме Икланда $\psi(y)<\inf\psi(X)+\varepsilon$ Выберем $\varepsilon$ так, что $\inf\psi(X)+\varepsilon<\min \psi(W)$. Таким образом $y\notin W$. Противоречие. ЧТД


Вот теперь можно идти преподуять. :lol:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group