2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачи
Сообщение09.03.2006, 14:00 
Аватара пользователя


09/03/06
40
Владивосток
Хрюша построил 4-х угольник ABCD и измерил расстояние до точки М, которую указал Степаша. Оказалось, что
AM? + BM? + CM? + DM? = 2S,
где S - площадь 4-х угольника. Что за 4-х угольник построил Хрюша, и что за точку указал Степаша?

Найти x и y, такие что
5x+1 = (52x + 25)(13 - 5y + 0.5y2).

Найдите решение системы:
(x1 + x2 + x3) 3 = 3x4,
(x2 + x3 + x4) 3 = 3x5,
(x3 + x4 + x5) 3 = 3x1,
(x4 + x5 + x1) 3 = 3x2,
(x5 + x1 + x2) 3 = 3x3.

Произведение трех положительных чисел равно 1, а их сумма больше суммы их обратных величин. Сколько из этих чисел больше чем 1?

Существует ли натуральное число n, у которого сумма цифр равна 2006, а сумма цифр n? равна 2006? ?

По двум пересекающимся прямым с равными скоростями бегут Хрюша и Степаша. Сможет ли Филя найти точку, где он будет во все моменты времени равноудален от Хрюши и Степаши?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2006, 14:25 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Задачи - это хорошо. Но что со всем этим предлагается сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи
Сообщение09.03.2006, 14:28 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
Antonina писал(а):
Существует ли натуральное число n, у которого сумма цифр равна 2006, а сумма цифр n? равна 2006? ?

1) переведите - ничего не понял
2) Используйте тег [math] - не понятно, у вас индексы, степени или умножения в системе уравнений

 Профиль  
                  
 
 На числа после переменной, как правило, не умножают.
Сообщение09.03.2006, 14:37 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
$(x_1 + x_2 + x_3)^3 = 3x_4$
$(x_2 + x_3 + x_4)^3 = 3x_5$
$(x_3 + x_4 + x_5)^3 = 3x_1$
$(x_4 + x_5 + x_1)^3 = 3x_2$
$(x_5 + x_1 + x_2)^3 = 3x_3$

Погадала на картах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи
Сообщение09.03.2006, 14:49 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
Antonina писал(а):

Найти x и y, такие что
5x+1 = (52x + 25)(13 - 5y + 0.5y2).

Вас не смущает, что переменных две, а уравнение одно? Дополнительных условий никаких?

Antonina писал(а):

Найдите решение системы:
(x1 + x2 + x3) 3 = 3x4,
(x2 + x3 + x4) 3 = 3x5,
(x3 + x4 + x5) 3 = 3x1,
(x4 + x5 + x1) 3 = 3x2,
(x5 + x1 + x2) 3 = 3x3.

Одно из решений $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=0$ вне зависимости от того степени там, умножения или что другое :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2006, 16:46 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Система - стандартная задача на упорядочивания.
Ответ: $(0,\ldots,0)$, $(1/3,\ldots,1/3)$, $(-1/3,\ldots,-1/3)$.
Надо доказать, что $x_1=\ldots=x_5$. Для этого предположить, что $x_1>x_2$, раскрутить цепочку неравенств, прийти к противоречию. И наоборот рассмотреть случай $x_1<x_2$.

Добавлено:
photon
Да. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2006, 16:52 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
dm писал(а):
Система - стандартная задача на упорядочивания.
Ответ: $(0,0,0)$, $(1/3,1/3,1/3)$, $(-1/3,-1/3,-1/3)$.

Если быть уж совсем точным, то:
$(0,0,0,0,0)$, $(1/3,1/3,1/3,1/3,1/3)$, $(-1/3,-1/3,-1/3,-1/3,-1/3)$ :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2006, 22:14 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
1. Думаю условие есть
$AM^2+BM^2+CM^2+DM^2=2S$. Тогда очевидно, $AM^2+BM^2>4пл(AMB)$. Следовательно, равенство возможно только в случае, когда четырёхугольник квадрат, а М центр.
2. Не понятно условие.
3. Фактический уже решена.
4. $(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1=x+y+z-1/x-1/y-1/z>0$. Следовательно только одно из чисел больше 1.
5. Сумма цифр числа n =2 по модулю 3, а значит и число n =2 по модулю 3. Соответственно n^2 и сумма его цифр должны равняться 1 по модулю 3, что противоречит с 2006.
6. Эта точка строится легко. А я не умею тут нарисовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи
Сообщение12.03.2006, 01:53 
Аватара пользователя


10/03/06
5
Czech Republic
Antonina писал(а):
Хрюша построил 4-х угольник ABCD и измерил расстояние до точки М, которую указал Степаша. Оказалось, что
AM? + BM? + CM? + DM? = 2S,
где S - площадь 4-х угольника. Что за 4-х угольник построил Хрюша, и что за точку указал Степаша??

?-chto oznachayet eto smvol... :roll:
Antonina писал(а):
Найти x и y, такие что
5x+1 = (52x + 25)(13 - 5y + 0.5y2).

dopolnitelniye uslovie net chtoli???
Antonina писал(а):
Существует ли натуральное число n, у которого сумма цифр равна 2006, а сумма цифр n? равна 2006? ?

a zdes ya nechego neponil...

Antonina pojaluyista obesnite a???

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 08:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Из теории размерности я догадался, что ? есть возведение в квадрат, соответственно эту догадку применил и к 5 -ой задаче. Осталась невыясненной условие ещё одной задачи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2006, 16:14 
Аватара пользователя


09/03/06
40
Владивосток
:shock: Заранее извиняюсь перед вами всеми, просто я на этом форуме в первый раз :oops:
Photon, перевожу: Существует ли натуральное число n, у которого сумма цифр равна 2006, а сумма цифр n² равна 2006² ?
LynxGAV - мастер - написала все совершенно правильно :D
Photon, в уравнении 5x+1 = (52x + 25)(13 - 5y + 0.5y2) все так и есть - только одно уравнение и ничего на сказано :roll:
Xarezmi, ? - означает ^2. :roll:
Всем огромное СПАСИБО!!! :!: :) :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2006, 05:30 
Аватара пользователя


10/03/06
5
Czech Republic
2. $5x+1 = (52x + 25)(13 - 5y + 0.5y^2)$ eto pishim tak $10x+2 = (52x + 25)(1+25 -10y +y^2)$ otsuda $(10x+2)/(52x + 25)=1+(y-5)^2$ i zdes legko, $(10x+2)/(52x + 25)\geqslant 1$ i dostanem resheni

5. Sushestvuet naturalni chislo $a$,kotoiy summa cifri rovna $b$,a summa cifr $a^2$ ravna $b^2$ 
dokazatelstvo:
kotorie chislo mi ishshem budet takom vide : $a=11...1$ zdes kolichestvo edinict rovna $m$ i  $m \in \mathbb{N}$ 
pust  $m=2$ togda $a=11,b=2$ i $ 11^2=121$ a zdes $1+2+1=4=2^2=b^2$
      $ m=3$ togda $a=111,b=3$ i $111^2=12321$ a zdes $1+2+3+2+1=9=3^2=b^2$
dlya luboe naturlanoe $m , a=10^{m-1}+10^{m-2}+...+1 , a^2= (10^{m-1}+10^{m-2}+...+1)*(10^{m-1}+10^{m-2}+...+1)=10^{m-1}*10^{m-1}+10^{m-1}*10^{m-2}+...+10^{m-1}*10+10^{m-1}*1+10^{m-1}+10^{m-2}*10^{m-1}+10^{m-2}*10^{m-2}+10^{m-2}*10^{m-3}+...+1$  zdes skolko chlen,stolko edinci, a konse-konsov edinci sostavlaet sifri ix summa rovna summa edincov ,a summa edinci rovna $m^2$  
tak chto iskomie chislo $n=111...11$ ,zdes $n$ soderjayet $2006$ shtuk edinci

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2006, 11:55 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это так, если вы оперируете в системе исчисления с основанием не меньше 2006. Вообще то это можно сделать и в десятичной системе исчисления, только брать цифры единицы не подряд идущими, а разрежёнными, например
$n=\sum_{k=0}^b 10^{3^k}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group