2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 поле симметрий
Сообщение14.11.2008, 17:35 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Простая задача для любителей динамических систем и тензорного анализа.

На трехмерном многоообразии $M$ задана динамическая система
$\dot x=v(x)$. Известно, что она имеет инвариантную 2-форму $\omega$ ($L_v\omega=0$, $L_v$ -- производная Ли вдоль векторного поля $v$) такую, что $d\omega\ne 0$ во всех точках $M$.
Найти (нетривиальное, вообще говоря) поле симметрий данной динамической системы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2008, 23:08 
Заслуженный участник


19/07/08
1266
Гугл на словосочетание "поле симметрий" даёт пять ссылок.
Не могли бы вы прокомментировать этот термин? Что такое группа симметрии я чётко понимаю. А вот про поля симметрий как-то слышать не приходилось.
Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2008, 15:26 
Аватара пользователя


02/04/08
742
nestoklon писал(а):
Гугл на словосочетание "поле симметрий" даёт пять ссылок.
Не могли бы вы прокомментировать этот термин? Что такое группа симметрии я чётко понимаю. А вот про поля симметрий как-то слышать не приходилось.
Заранее спасибо.

поле симметрий это векторное поле коммутирующее с $v$. Фазовый поток такого векторного поля является группой симметрий для системы $\dot x=v(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: поле симметрий
Сообщение04.08.2011, 17:02 


03/08/11
74
zoo в сообщении #158170 писал(а):
Простая задача для любителей динамических систем и тензорного анализа.

На трехмерном многоообразии $M$ задана динамическая система
$\dot x=v(x)$. Известно, что она имеет инвариантную 2-форму $\omega$ ($L_v\omega=0$, $L_v$ -- производная Ли вдоль векторного поля $v$) такую, что $d\omega\ne 0$ во всех точках $M$.
Найти (нетривиальное, вообще говоря) поле симметрий данной динамической системы.

Можите пожалуйста привести ссылку на литературу где был бы освещен этот вопрос, а именно как работать с данной системой уравнений, как искать поля симметрий и что они дают при решении системы уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: поле симметрий
Сообщение05.08.2011, 15:27 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Приведу пример коммутирующего с $v(x)$ поля.
Определяем форму $\Omega=v\rfloor\omega$, где $\rfloor$ - внутреннее умножение на векторное поле. Тогда $L_v(\Omega)=0$, $L_v{d\Omega}=0$.
Определяем форму $\vartheta=v\rfloor{d\Omega}$. $\vartheta(v)={v\rfloor}({v\rfloor}d{\Omega})=0$. $d\vartheta=0$, поскольку $d\vartheta=d(v\rfloor{d\Omega})=L_v{d\Omega}=0$.
Таким образом, 1-форма $\vartheta$ замкнута и в любой односвязной окрестности любой точки многообразия по теореме Пуанкаре существует гладкая функция $\varphi(x)$ такая, что $d\varphi=\vartheta$. $v(\varphi)=0$, поскольку $\vartheta(v)=0$ .
Искомое поле $u=\varphi(x){v}$. $[v,u]=0$. Нетривиальность поля $u$ в том, что $\varphi(x)$ - первый интеграл поля $v$.
Задача допускает развитие. Если $\operatorname{div}(v)=0$, то $v$ полностью интегрируется. Локально, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: поле симметрий
Сообщение05.08.2011, 16:31 


10/02/11
6786
а если $\varphi=const$?
Другой вариант. Речь может быть об аксиальном поле симметрий. Оно получается так. Поскольку $d\omega =f(x)dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3$ по условию $f(x)\ne 0$.
Далее 2-форме $\omega$ канонически сопоставлено аксиальное псевдовекторное поле веса 1. Обозначим его $u$. Тогда инвариантное аксиальное (а может и не аксиальное, а обычное, надо чуть подумать) векторное поле получается по формуле
$w=\frac{1}{f}u$. При этом $[w,v]=0$ в стандартном смысле.
(Хотя тоже не очевидно, что $w\ne cv$)
scwec в сообщении #473660 писал(а):
Если $\operatorname{div}(v)=0$, то $v$ полностью интегрируется. Локально, конечно.

И это замечание остается в силе, с известной оговоркой.

 Профиль  
                  
 
 Re: поле симметрий
Сообщение05.08.2011, 20:49 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Дополнительное условие $v\rfloor{d(v\rfloor\omega})\ne0$ одновременно обеспечивает $\varphi\ne\operatorname{const}$ в варианте scwec и $w\ne{cv}$ в варианте Oleg Zubelevich.
Оно же обеспечивает полную локальную интегрируемость $v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: поле симметрий
Сообщение05.08.2011, 20:50 


10/02/11
6786
кстати $w$ всетаки не аксиальное векторное поле а самое настоящее (истинный тензор)

 Профиль  
                  
 
 Re: поле симметрий
Сообщение05.08.2011, 20:57 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Фактически $w=\frac {\operatorname{rot}\Omega}{f}$

 Профиль  
                  
 
 Re: поле симметрий
Сообщение06.08.2011, 10:30 


10/02/11
6786
scwec в сообщении #473660 писал(а):
Задача допускает развитие. Если $\operatorname{div}(v)=0$, то $v$ полностью интегрируется

Что-то я перестал понимать зачем нужно это условие. Инвариантная 3-форма есть, первый интеграл Вы нашли. Этого достаточно для интегрируемости в квадратурах.

 Профиль  
                  
 
 Re: поле симметрий
Сообщение06.08.2011, 11:04 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Оно действительно лишнее. Просто я вначале исходил из равенства $[v,\operatorname{rot}\Omega]=-\operatorname{div}v\operatorname{rot}\Omega$, не обратив внимание на условие $d\omega\ne0$. Потом заметил, и вот $[v,\frac {\operatorname{rot}\Omega}{f}]=0$, поскольку $\operatorname{div}(fv)=0$.
Плюс к тому $v\times\operatorname{rot}\Omega=\operatorname{grad}\varphi$. Отсюда и следует интегрируемость $v$ на поверхности уровня уже найденного первого интеграла $\varphi$. Пишу все в эвклидовых координатах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group