Мера сходства групп.

[STilda]

Как можно оценить насколько одна группа похожа на другую?
Можно ли ввести расстояние между группами?
И вообще, какие мысли по поводу пространства групп, пространства, где елементом является группа. ?

[bot]

Группы "похожи", если они изоморфны. Пример: мультипликативная группа положительных действительных изоморфна аддитивной группе всех действительных чисел.
Расстояние между изоморфными естественно положить равным нулю, а дальше никак, не говоря уже о пространствах.

А давайте лучше менее абстрактные группы рассматривать, например, группы сапог. Тут можно дальше продвинуться. Расстояние $\rho (b_1, b_2)$ от сапога $b_1$ до сапога $ b_2 $ можно измерить. Два сапога назовём парой, но можно рассматривать группы сапог любой мощности. Расстоянием между группами сапог $B_1$ и $B_2$ естественно назвать $\inf\limits_{b_1\in B_1, b_2 \in B_2} \rho (b_1,b_2)$

Пространствами овладевать лучше в сапогах и не в одиночку, а именно в группах - эт Вы хорошо проидумали.

[STilda]

Сапоги в моей задаче не подходят. Нужны группы и их взаимодействия.И их схожести.
Пример, Группа1 имеет две подгруппы Подгруппа1 и Подгруппа2. Есть еще Группа2 и Группа3. Так вот Подгруппа1 изоморфна Группа2 а Подгруппа2 изоморфна Группа3. Чем не Группа2+Группа3=Группа1?Единицей для такого сложения будет группа из одного элемента.

[вздымщик Цыпа]

STilda в сообщении #158457 писал(а):

Пример, Группа1 имеет две подгруппы Подгруппа1 и Подгруппа2. Есть еще Группа2 и Группа3. Так вот Подгруппа1 изоморфна Группа2 а Подгруппа2 изоморфна Группа3. Чем не Группа2+Группа3=Группа1?

Группа целых по сложению имеет подргруппы четных и кратных трем. Обе эти подгруппы изоморфны группе целых. Получаем, $\mathbb{Z} = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}$. Хорошо получается

[STilda]

А еще она имеет подгруппу кратных пяти.Таким образом имеем $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$. Тоесть $\mathbb{Z}$ единица. А подгруппы $\mathbb{Z}$ не изоморфной $\mathbb{Z}$ не бывает получается?

[вздымщик Цыпа]

STilda в сообщении #160717 писал(а):

А подгруппы $\mathbb{Z}$ не изоморфной $\mathbb{Z}$ не бывает получается?

Не бывает. Сколько бы элементов $\{a_1,\ldots, a_k\}$ в нее не назначить, она всяко будет порождена элементом $\text{НОД}(a_1,\ldots, a_k)$, а потому изоморфна $\mathbb{Z}$.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Тоесть $\mathbb{Z}$ единица.

А куда же подевалась группа из одного элемента? Вы в ней разочаровались?

И вообще у вас "сложение" определено неоднозначно. У вас одновременно

1) как мы убедились, $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$,
2) как легко убедиться, $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

А куда же подевалась группа из одного элемента? Вы в ней разочаровались?

Да уж не знаю что и думать.

tolstopuz писал(а):

2) как легко убедиться, $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$.

Но если $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ изоморфно $\mathbb{Z}$ тогда какие проблемы? Определено с точностью до изоморфизма.
Получается мы рассматриваем такое: Есть множество из двух элементов $\{G1,G2\}$: группа $G1=\{\{0\}, +, 0+0=0\}$ и группа $G2=\{\{...-2,-1,0,1,2...\}, +\}$; Есть сложение $+$ на множестве $\{G1,G2\}$ которое удовлетворяет условиям $G1+G1=G1,G1+G2=G2,G2+G2=G2$. Не знаю что здесь назвать единицей можно а что нулем.
Да сложение не однозначно. Значит можно попробовать суммой групп назвать группу котора есть их прямым произведением (или как оно называется, забыл). Тогда получится более строго и однозначно. О так получается прямое произведение и есть операция на множестве групп которая дает нам группу из элементов-групп.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Но если $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ изоморфно $\mathbb{Z}$ тогда какие проблемы?

А если нет?

STilda писал(а):

Значит можно попробовать суммой групп назвать группу котора есть их прямым произведением (или как оно называется, забыл).

Или которая есть их прямой суммой (для конечных сумм/произведений это одно и то же). То есть, можно сказать, уже назвали.

[ibond]

Если рассматривать конечно порожденные группы, то их можно рассматривать как метрические пространства. И на этом пространстве есть понятие метрики Громова-Хаусдорфа.

Также группы можна сравнивать наличием изоморфных подгрупп конечного индекса. Или рядом подгрупп с изоморфными факторами.

[Brukvalub]

ibond в сообщении #171705 писал(а):

Если рассматривать конечно порожденные группы, то их можно рассматривать как метрические пространства.

С какой метрикой?

[ibond]

Определена норма $|g|=\min \{ k | g=s_1s_2\ldots s_k, s_i\in S\cup S^{-1} \}$ и соответственно метрика. Другими словами, просто рассматривается граф Келли относительно данной системы образующих, и комбинаторную метрику на графе.

[Brukvalub]

А как эта метрика поможет подсчитать расстояние между разными конечно порожденными группами, чтобы установить меру их близости?

[ibond]

Может я перед этим не совсем ясно выразился: на совокупности всех конечно-порожденных групп (так как они метрические пространтва с метрикой описаной выше) есть метрика Громова-Хаусдорфа, которая в некоторой степени измеряет насколько две группы похожи. Метрика Громова-Хаусдорфа: рассматриваются изометрические вложения двух групп в любое метрическое пространство, меряется расстояние между этими подмножествами по метрике Хаусдорфа, и берется инфинум. Грубо говоря, группы тем ближе, чем большего радиуса существуют изометрические шары с центром в 1 в этих группах.

[Brukvalub]

Спасибо, Ваша идея кажется мне весьма здравой