2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подобрать базис для полей форм
Сообщение09.11.2008, 03:06 


09/11/08
2
В некоторой области $U$ в $R^n$ заданы поля симетричных форм $H$, $Q$. $H$ в каждой точке положительно определена. В каждой точке можно выбрать ортогональный относительно $H$ базис, в котором $Q$ имеет диагональный вид.

Верно ли, что в некоторой окресности каждой точки можно задать поля $e_1, ... ,e_n$ которые в каждой точке образуют базис с подобными свойствами?

Интуитивно кажется, что верно. Но доказывать через теорему о неявной функции не получается. Например если в некоторой точке $Q = k \cdot H$, то в ней подойдет любой ортогональный базис, а в соседних - возможно далеко не каждый. Что делать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.11.2008, 08:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
none в сообщении #156884 писал(а):
В каждой точке можно выбрать ортогональный относительно $H$ базис, в котором $Q$ имеет диагональный вид.

none в сообщении #156884 писал(а):
Верно ли, что в некоторой окресности каждой точки можно задать поля $e_1, ... ,e_n$ которые в каждой точке образуют базис с подобными свойствами?
Разве второе утверждение не является немедленным следствием первого?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.11.2008, 11:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
не является. По идее требуется, чтобы эти поля менялись непрерывно.

Если в данной точке спектр $Q$ (обобщённый, т.е. относительно $H$) невырожден, то наверняка можно. В точках вырождения -- хрен его знает, вовсе не уверен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.11.2008, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ewert в сообщении #156907 писал(а):
По идее требуется, чтобы эти поля менялись непрерывно.
Так это только Ваши домыслы.... Я же отвечал точно на заданный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.11.2008, 13:38 


09/11/08
2
Brukvalub писал(а):
ewert в сообщении #156907 писал(а):
По идее требуется, чтобы эти поля менялись непрерывно.
Так это только Ваши домыслы.... Я же отвечал точно на заданный вопрос.


Ну естественно предполагалась некоторая гладкость. Например $C^1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.11.2008, 14:29 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Если поля предполагаются гладкими, то уже для одна форма совсем необязательно будет диагонализируема гладким преобразованием. Пусть форма - метрика на области. Для $n=2$ локально это возможно - конформные координаты, а при $n\ge3$ уже нет. Можно добиться того, чтобы в точке матрица была единичная, а ее первые производные равны нулю. Это называется нормальные координаты. На большее, чтобы, скажем, вторые производные в точке обращались в нуль, параметров уже не хватает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group