2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория Групп
Сообщение05.11.2008, 21:53 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
Как доказать без "знания циклических групп" коммутативность любой конечной группы с простым числом элементов?
Мои соображения:
По теореме Лагранжа о конечных группах следует,что данная группа нормальна,так как имеет только тривиальные подгруппы.
А вот как вкратце доказать из нормальности конечной группы ее коммутативность,не знаю! :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.11.2008, 22:26 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Alexiii
А что имеется ввиду под нормальной группой? По известному ( мне ) определению подгруппа $H \subset G$ - нормальна $\Rightarrow$ $\forall g \in G: Hg=gH$.

С другой стороны, конечно, всякая конечная группа простого порядка циклическая - это был бы самый простой путь к док-ву.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.11.2008, 22:47 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
id,простите,я туплю,конечно всякая группа,как сама себе подгруппа, нормальная,так что из этого ничего не выходит. :oops:

А касательно задачки,никак не выходит по-другому,обходя цикличность? А случай,когда кол-во элементов группы 4?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.11.2008, 22:53 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Ну не знаю, тут какие-либо особые знания о цикличности не используются. Цепочка заключений получается такая:

Теорема Лагранжа $\Rightarrow$ Порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок группы $\Rightarrow$ Всякая конечная группа простого порядка циклическая.
А, имея цикличность, все просто: по-разному расставим скобки в произведении $g^m g^l$ и получим коммутативность.

Убрал глупость

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.11.2008, 23:05 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
Да,с цикличностью все оч просто,я уже решил и написал,но желательно без!
Хотя в принципе вы правы,я использовал только тривиальные сведения,даже сам вывел,взяв ненейтральный элемент и использовав определение группы.

А в случае 4-х элементов создается проблема,когда подгруппа 2-х элементная.Конечно,из-за ее индекса 2,она нормальная,но все равно остается показать коммутируемость $xH$ смежного класса,то есть коммутируемость его 2-х элементов меж собой!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.11.2008, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Alexiii в сообщении #156222 писал(а):
А в случае 4-х элементов создается проблема,когда подгруппа 2-х элементная.
Можно просто перебрать все таблицы Кели для групп из 4-х элементов и ручками проверить коммутативность.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.11.2008, 23:29 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
но мы не проходили таблиц Кели пока,надо решить без них :cry:
подкиньте,пожалуйста,идейку :idea:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2008, 07:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Рассмотрим группу из 4-х элементов и ее неединичный элемент а. Если $a^2  \ne e$, то группа - циклическая, и Вы умеете доказывать ее коммутативность. Если же $a^2  = e$ для всех элементов группы, то всегда $a^{ - 1}  = a$, и, вновь, группа - коммутативна. Действительно, пусть $a\;,\;b\;,\;c\;,\;e$ все различные элементы этой группы. Коммутирование любого элемента с единицей группы не вызывает сомнений. Покажем, что, например, $ab = c$ Действительно, иначе
$\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {ab = e \Rightarrow a = b^{ - 1}  = b}  \\
   {ab = a \Rightarrow b = e}  \\
   {ab = b \Rightarrow a = e}  \\
\end{array}} \right.$, то есть в любом другом случае наступает противоречие. Коммутативность доказана.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2008, 13:43 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
Спасибо,Brukvalub,вы всегда внимательно относитесь к моим постам.
Я почти также доказал вот так:
Допустим,что группа $ \{e,x,y,z\}$ имеет
собственную подгруппу $H$ (иначе дело сводится к простой группе,для которой все доказано).
По теореме Лагранжа индекс этой подгруппы должен равняться только 2-м при количестве 2 элементов ,а значит,подгруппа циклична и нормальна.
Данная подгруппа содержит $e$ и $x$ ,где $xx=e$.
Из-за нормальности имеем:
$zH=Hy=yH=Hz$,что,учитывая двухэлементность $H$,равносильно следующему:
$zx=xz=y, xy=yx=z$
А коммутируемость $y$ и $z$ показать легко:
$yz=zxxy=z(xx)y=zey=zy$
ЧТД
Ваш вариант,конечно,эффективнее по всем статьям!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2008, 20:31 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Alexiii в сообщении #156209 писал(а):
без "знания циклических групп"
Если бы циклических групп не было - надо было бы их выдумать ©
Ну а что? Можно же "развернуть" обычное рассуждение, убрав из него слово "цикличность" ... Ну берем первый попавшийся неединичный элемент, и обнаруживаем, что все другие элементы - его степени, а степени при перемножении складываются, а сложение чисел коммутативно, ... Где Вы тут видите циклические группы? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2008, 21:16 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
Вы совершенно правы,я так и сделал! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group