Рекуррентное соотношение

[Sakura]

Помогите, пожалуйта, решить рекуррентное соотношение:
W_(_n_+_2_) - 4W_(_n_+_1_) + 3W_n = -2 * 3^(^n^+^1^),

W_0 = 14/3 ; W_1 = 1

[V.V.]

1. Общее решение неоднородного р.с. есть сумма общего решения однородного р.с. и частного решения неоднородного уравнения.

2. Для того, чтобы найти общее решение однородного р.с., ищите решение в виде $W_n=\lambda^n$.

3. Частное решение ищите в виде $\alpha n\cdot 3^n$ (умножение на $n$ происходит, потому что 3 является корнем характеристического уравнения, т.е. уравнения на $\lambda$ из второго пункта).

4. После того, как нашли общее решение неоднородного, подставьте $n=0$ и $n=1$ и решите систему из двух линейных алгебраических уравнений на произвольные постоянные.

[Sakura]

V.V., я вот до какого вида дошла:

Разделим все выражение на 3^(^n^+^1^), получим:

W_(_n_+_2_) / 3^(^n^+^1^) - 4*W_(_n_+_1_) / 3^(^n^+^1^) + 3*W_(_n_) / 3^(^n^+^1^) = -2

преобразуем:

3*W_(_n_+_2_) / 3^(^n^+^2^) - 4*W_(_n_+_1_) / 3^(^n^+^1^) + W_(_n_) / 3^n = -2

заменим W_(_n_) / 3^n = T_(_n_), W_(_n_+_1_) / 3^(^n^+^1^) = T_(_n_+_1_), W_(_n_+_2_) / 3^(^n^+^2^) = T_(_n_+_2_), получим:

3*T_(_n_+_2_) - 4*T_(_n_+_1_) + T_(_n_) = -2

Но как его решать? Если в линейном реккурентном соотношении вида F_(_n_+_2_) = a_1*F_(_n_+_1_) + a_2*F_(_n_) нет свободного члена и составляем квадратное уравнение вида r^2 = a_1*r + a_2, то в моем случае, что делать с (-2) ? И как дальше решить полученное рекуррентное соотношение?

[Henrylee]

Вы делаете абсолютно не то, что сказал V.V.. Вам же сначала нужно искать решение однородного р.с.

[Sakura]

Henrylee, но посмотрите на левую часть соотношения и потом на правую. Если в левой n, n+1, n+2 находится в индексе, то в правой части n+1 стоит в степени. Если я левую часть заменю, как написал V.V., то что у меня при этом буде в правой части? Я не понимаю как произвести замену, о которой говорит V.V. Объясните, пожалуйста.

[Henrylee]

Sakura писал(а):

Henrylee, но посмотрите на левую часть соотношения и потом на правую. Если в левой n, n+1, n+2 находится в индексе, то в правой части n+1 стоит в степени. Если я левую часть заменю, как написал V.V., то что у меня при этом буде в правой части?

В правой части ставите ноль:

Henrylee писал(а):

Вам же сначала нужно искать решение однородного р.с.

[Sakura]

Henrylee, на каком основании я там ноль поставлю? Если я ставлю ноль, то я из правой части вычитаю -2 * 3^(^n^+^1^), значит из левой части я тоже должна вычесть то же самое, иначе соотношение будет неверным. Но вычитая из левой части -2 * 3^(^n^+^1^), я не избавляюсь от него, а опять имею n+1 и в индексе и в степени.
Объясните, пожалуйста по шагам, как это сделать?

Добавлено спустя 4 минуты 8 секунд:

Если мне человек подсказал что на что можно заменить, чтобы избавиться от степени, чтобы прийти к линейному рекуррентному соотношению, и объяснил почему, то я это поняла. Единственное, не понятно, что делать с -2.
Ваш способ решения я совсем не понимаю. Расскажите, пожалуйста.

[Henrylee]

Так Вам же по шагам все уже объяснили:

V.V. писал(а):

1. Общее решение неоднородного р.с. есть сумма общего решения однородного р.с. и частного решения неоднородного уравнения.

2. Для того, чтобы найти общее решение однородного р.с., ищите решение в виде $W_n=\lambda^n$.

Делаете замену, в правой части ставите ноль. Получаете общее решение однородного р.с.

V.V. писал(а):

3. Частное решение ищите в виде $\alpha n\cdot 3^n$

При этом в правой части оставляете то, что там стоит.

Получаете частное решение неоднородного р.с.
и т.д.

[V.V.]

Если вы найдете частное решение $b_n$ и представите $W_n=a_n+b_n$, то левая часть для $a_n$ будет такая же, как и в исходном уравнении. Поэтому-то Вы и можете для начала рассмотреть нулевую правую часть (однородное р.с.).

Можете сначала найти $b_n$, что у меня было третьим пунктом. Вид этого частного решения указан. Подставляете его в р.с. и находите $\alpha$.

[Sakura]

Henrylee, извините, пожалуйста, но Вы хоть сто раз перепишите слова V.V. - это не объяснит ничего. Вы можете подробно на соотношении объяснить что и как заменить?

Допустим, я заменяю W_n = k^n, значит
W_(_n_+_1_) = k^(^n^+^1^),
а W_(_n_+_2_) = k^(^n^+^2^),
а на что тогда заменить 3^(^n^+^1^)? Ведь нельзя заменить что-то в левой части, а в правой части оставить все как есть, если в правой части присутствует n+1, которая присутствует и в левой части тоже?


в итоге после замены я получаю в левой части k^(^n^+^2^) - 4*k^(^n^+^1^) + 3*k^n, а что при этом будет в правой части?

Вы говорите поставить ноль, но на каком основании там будет ноль? Вот смотрите, можно найти W_2, оно будет равно -16. Если сделать, как Вы говорите, и приравнять левую часть к нулю, то W_2 - 4*W_1 + 3*W_0 далеко не 0 получается. Объясните подробно, пожалуйста, чтобы было понятно.

[Henrylee]

Воспльзуйтесь советом V.V. и начните с 3-его пункта. Ищите решение в виде

$$ W_n=3^nan, $$

оставив прежней правую часть. Так Вы найдете одно из решений, (т. е частное) исходного р.с.
А затем, прибавляя к нему любые решения однородного р.с. Вы сможете получить и остальные решения исходного. Разве Вы линейные системы уравнений не решали никогда? Или линейные Д.У.?

[Sakura]

V.V., а можно проще объяснить? как маленькому школьнику...
Как именно найти частное решение?

Что такое a_n и почему левая часть для него будет такая же, как и в исходном соотношении?

И еще: можно вместо греческих букв писать латинские (я не знаю как Вы их пишите, поэтому одинаковыми символами с Вами оперировать не могу)?

Добавлено спустя 3 минуты 43 секунды:

Henrylee, почему W_n = 3^nan? Почему именно такая замена? Что значит "a" в этой замене?

[Henrylee]

Пусть $a_n$ - решение однородного р.с., а $b_n$ - решение неоднородного р.с.
Тогда

$$ a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0 $$

(при поиске $a_n$ мы справа ставили ноль)

$$ b_{n+2}-4b_{n+1}+3b_n=-2\cdot 3^{n+1} $$

(оставляли правую часть той же)

Тогда $W_n=a_n+b_n$ - тоже решение, действительно,

$$ W_{n+2}-4W_{n+1}-3W_n=(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)+(b_{n+2}-4b_{n+1}+3b_n)=0+(-2\cdot 3^{n+1})=-2\cdot 3^{n+1} $$

[Sakura]

Henrylee, я последнюю строчку не совсем поняла, там в скобках, где b, там наверно только левая часть без знака "=" и правой части, а потом правые части складывали?

Добавлено спустя 10 минут 51 секунду:

Henrylee, правильно ли я понимаю, что сначала мы решаем однородное р.с., где a_n - это решение однородного р.с.? Для этого заменяем W_n на a_n, а правую часть при этом приравниваем к 0?
Решаем однородное р.с.:
k^2 - 4k + 3 = 0
k_1 = 3; k_2 = 1

Простите, а дальше я запуталась.

[GAA]

Общее решение однородного уравнения имеет вид линейной комбинации фундаментальных решений: $a_n= C_1 3^n + C_2 1^n$ (на этом мы заканчиваем выполнение n.2).
3. Ищем частное решение неоднородного уравнения со специальной правой частью, подставляя решение $\alpha n3^n$ с неопределенным коэффициентом $\alpha$ в полное уравнение (исходное уравнение).